Hogyan kell megoldani exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán?

3^x+3^(x+1)=12

3^x+3*3^x=12

4*3^x=12

3^x=3, itt igazából már látszik, hogy 1 a megoldás

3^x=3^1, felhasználva, hogy az exponenciális függvény szigorúan monoton, azaz egy x értékhez pontosan 1 y érték tartozik, tehát el lehet hagyni a hatványalapot, mivel mind2 oldalon ugyanaz az alap szerepel:

x=1

Arra kell visszaemlékezned, hogy volt olyan témakör, ahol azonos alapú hatványok eredményét úgy kaptuk meg egy lépésben, hogy a kitevőket összeadtuk;

a^n * a^m = a^(n+m)

tehát azonos alapú hatványok szorzása esetén tettük ezt meg.

Ennek megfelelően a 3^(x+1) hatványt fel tudod írni 3^1 * 3^x alakban, tehát ez lesz a következő lépés:

3^x + 3^1 * 3^x = 12

A jobb áttekinthetőség kedvéért megtehetjük azt, hogy 3^x kifejezést lecseréljük valami egyszerűbbre, mondjuk t-re, tehát legyen 3^x=t, így

t + 3 * t = 12

egyenletet kapjuk. Ezt már meg lehet könnyen oldani, és t=3 eredményt kapjuk.

Most visszaírjuk t helyére a 3^x kifejezést:

3^x=3, ezt pedig azt mondtad, hogy meg tudod oldani.

Nem muszáj áttérni másik ismeretlenre. A megoldást úgy is szokták tanítani, hogy kiemelnek:

3^x*(1+3) = 12, vagyis 3^x*4=12, erre pedig ugyanúgy 3^x=3 egyenletet kapunk.

Ha a kitevőben különbség van, akkor az

a^n / a^m = a^(n-m) azonosságra kell gondolni, ha pedig szorzat (például 3^(2x), akkor pedig az

(a^n)^m = a^(n*m) azonosságra kell gondolni.