Weboldalunk cookie-kat használhat, hogy megjegyezze a belépési adatokat, egyedi beállításokat, továbbá statisztikai célokra és hogy a személyes érdeklődéshez igazítsa hirdetéseit. További információ
Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Van-e az alábbi három síknak...

Van-e az alábbi három síknak közös pontja? x + y + z = 1 -x + 8y + 2z = 0 -2x + 25y + 7z = 1

Figyelt kérdés
Valaki le tudná vezetni a megoldást?

#ZH #Matek I
2020. okt. 13. 21:12
 1/5 anonim ***** válasza:
78%

Mi nem megy ezen?


Ha van közös pontjuk, akkor annak a pontnak a koordinátái mind kielégítik az egyenleteket, magyarán a három egyenlet által alkotott egyenletrendszert kell megoldani.


Ha jól sejtem, akkor Gauss-eliminációt tanultatok, ehhez fel kell írni egy bővített mátrixba az együtthatókat:


[ 1 1 1 | 1]

[-1 8 2 | 0]

[-2 25 7 | 1]


Először érdemes kiválasztani egy szimpatikus oszlopot, és annyival szorozni mindegyik sort, hogy abban az oszlopban ugyanazok a számok legyenek. Ha az első oszlopot választjuk, akkor mondjuk hajtsunk (-2)-re, ehhez az elsőt (-2)-vel, a másodikat 2-vel kell szorozni:


[-2 -2 -2 | -2]

[-2 16 4 | 0]

[-2 25 7 | 1]


Most kiválasztjuk az egyik sort, amelyiknek elemeit kivonjuk a többi sorból. Legyen ez az első sor, ekkor ezt kapjuk:


[(-2) -2 -2 | -2]

[0 18 6 | 2]

[0 27 9 | 3]


A bal felső (-2)-est azért tettem zárójelbe, mert abban az oszlopban rajta kívül mindenki 0, tehát a kivonás szempontjából az már nem játszik.


A következő lépés ugyanaz lesz, mint az előbb; a középső oszlopban 54-et tudunk elérni;


[(54) 54 54 | 54]

[0 54 18 | 6]

[0 54 18 | 6]


Majd a 2. sort kivonjuk a másik két sorból:


[(54) 0 36 | 48]

[0 (54) 18 | 6]

[0 0 0 | 0]


Kaptunk egy nullsort, ami azt jelenti, hogy az mindig igaz lesz (0=0), így marad a másik két sor:


[(54) 0 36 | 48]

[0 (54) 18 | 6]


Tehát


54x + 36y = 48

54y + 18z = 6


Ennek a tanultak alapján (több ismeretlen van, mint egyenlet) végtelen sok megoldása van, tehát a három síknak lesz közös pontja, ráadásul végtelen sok.


Ha érdekel, meg lehet oldani az egyenletrendszert úgy, hogy valamelyik ismeretlen másik ismeretlen(ek) függvényében van megadva.

2020. okt. 13. 22:14
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/5 anonim ***** válasza:

Ha összeadod az 1.és 2.egyenletet, kapod, hogy 9y+3z=1.

Ha az 1. egyenlet kétszereséhez hozzáadod a 3. egyenletet, kapod, hogy

2020. okt. 14. 11:16
Hasznos számodra ez a válasz?
 3/5 anonim ***** válasza:

27y+9y=3

A két egyenes ekvivalens, ezért végtelen sok közös pont van.

2020. okt. 14. 11:17
Hasznos számodra ez a válasz?
 4/5 anonim ***** válasza:
69%

Amit a többiek írtak, az már a "pro" megoldás; ha az egyenletek lineárisan függnek egymától, vagyis az A B és C egyenletekre létezik a b és c nemnulla valós számok, hogy


a*A + b*B = c*C, akkor a C egyenlet kihúzható a feladatból, és csak az A és B egyenletekre kell koncentrálni (ahogyan a nullsor is megjelent a Gauss-eliminációnál).


Ezt viszont a lineárisan független egyenletekből álló egyenletrendszernél nem lehet eljátszani. Ráadásul nem is mindig magától értetődő, hogy melyik egyenleteteket mennyivel kell szorozni, hogy a harmadik egyenlet valahányszorosát kapjuk. Az ilyen esetekre marad a fenti, Gauss-eliminációs megoldási mód.


Arról még nem esett szó, hogy mikor nincs megoldás; ha a Gauss-elimináció esetén megjelenik úgynevezett tilos sor, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása. A tilos sor az ugyanolyan, mint a nullsor, annyi különbséggel, hogy míg bal oldalon csupa 0 szerepel, addig a jobb oldalon 0-tól különböző szám, például


[0 0 0 | 2]


Ha ezt visszaírnánk egyenletalakba, akkor ezt kapnánk:


0*x + 0*y + 0*z = 2, vagyis 0=2, ami nyilván nem igaz, emiatt nem lesz megoldása az egyenletrendszernek.

2020. okt. 14. 11:29
Hasznos számodra ez a válasz?
 5/5 anonim ***** válasza:

Bocs!

Az egyenletek ekvivalensek.

Itt láthatod:

[link]

2020. okt. 14. 11:38
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2022, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info@gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!