Miért osztható az "a" 5-diken- "b" az 5-diken a-b-vel?

[link]

6. azonosság

Ha tanultál már a mértani sorozatokról, és az összegképletükről, akkor nagyon könnyen be lehet látni, hogy (a^n-b^n)-nek mindig osztója (a-b). Ha a=0 vagy b=0, akkor triviális, hogy az állítás igaz (0|0 is igaz). Ha ezektől különböző megoldást keresünk, akkor tegyük meg azt, hogy a számlálóból kiemelünk b^n tényezőt, a nevezőből b-t, ekkor ezt kapjuk:

[b^n*(a^n/b^n-1)]/[b*(a/b)-1]

A számlálóban tudunk használni egy azonosságot:

=[b^n*((a/b)^n-1)]/[b*(a/b)-1]

És még b-vel is egyszerűsíthetünk:

=b^(n-1)*[(a/b)^n-1]/[(a/b)-1]

Ez azért volt jó nekünk, mert ez a képlet annak a mértani sorozatnak az összegképlete, ahol a soroat első tagja b^(n-1), a hányados mértéke pedig a/b. Ez alapján az összeget is fel tudjuk írni:

=b^(n-1)+a*b^(n-2)+a^2*b^(n-3)+...+a^(n-1)

Tehát

(a^n-b^n)/(a-b) = b^(n-1)+a*b^(n-2)+a^2*b^(n-3)+...+a^(n-1), szorzás után

a^n-b^n = (a-b)*[b^(n-1)+a*b^(n-2)+a^2*b^(n-3)+...+a^(n-1)]

Már csak azt kell belátni, hogy a

[b^(n-1)+a*b^(n-2)+a^2*b^(n-3)+...+a^(n-1)]

kifejezés tetszőleges a;b nemnulla egészre egész, ami szintén nem nehéz; látható, hogy egész számok vannak összeszorozva, majd azokat összeadjuk, így az eredmény is csak egész lehet.

Mert

(a-b)^5= (a-b)x(a-b)x(a-b)x(a-b)x(a-b)

Ha (a-b)-t "K"-val jelöljük, akkor

(a-b)^5= (a-b)x(a-b)x(a-b)x(a-b)x(a-b)=K^5=KxKxKxKxK

Ez osztható K-val, ami =(a-b)