Hogy igazoljam ezt az azonosságot?

arcsin(sqrt(x))= alfa, azt jelenti, hogy sin(alfa)=sqrt(x)

arcsin(sqrt(1-x))=béta, azt jelenti, hogy sin(béta)=sqrt(1-x)

Ebből következően

(sin(alfa))^2+(sin(béta))^2=1

Alkalmazva a trigonometrikus Pitagorasz-tételt:

(sin(béta))^2=(cos(alfa))^2

...

Az arcsin(sqrt(x)) azt a számot jelenti a [0,π/2] intervallumon, aminek a szinusza sqrt(x), jelölje ezt a számot w. Hasonlóan arcsin(sqrt(1-x)) azt a számot jelenti a [0,π/2] intervallumon, aminek a szinusza sqrt(1-x), ezt a számot jelölje z.

Nyilvánvaló módon ((sin(w))^2)+((sin(z))^2)=1, amiből a szinusz és koszinusz közti azonosság alapján következik, hogy

((sin(w))^2)+((cos(π/2 -z))^2)=1. Mivel a szinusz- és a koszinuszfüggvény injektív a [0,π/2] intervallumon, ezért ez csak úgy lehetséges, hogy

w = π/2 -z, azaz w+z=π/2, és ezt kellett bizonyítani.

Szemléletesen:

[link]

Nem-algebrai megoldás; az arcsin(sqrt(1-x)) miatt csak nemnegatív értékek arkosz szinuszát vehetjük, ami azt jelenti, hogy eredményül a [0;π/2] intervallumból kaphatunk értékeket. Látható, hogy a [0;1] intervallum elemei mind beírhatóak x helyére, tehát az értelmezési tartomány ez a halmaz lesz.

A két végpontot manuálisan vizsgáljuk;

-Ha x=0, arcsin(sqrt(0))+arcsin(sqrt(1)) = 0+π/2 = π/2, tehát az állítás igaz.

-Ha x=1, arcsin(sqrt(1))+arcsin(sqrt(0)) = π/2+0 = π/2, tehát az állítás itt is igaz.

-Ha 0<x<1, akkor tudunk rajzolni egy derékszögű háromszöget, melynek átfogója 1, két befogója sqrt(x) és sqrt(1-x) nagyságú. Látható, hogy a Pitagorasz-tétel érvényesül (sqrt(x)^2+sqrt(1-x)^2 = x+1-x = 1 = 1^2), emiatt ez működőképes lesz.

Ha ez megvan, akkor a háromszög két hegyesszögét az arkosz szinusszal ki tudjuk számolni; az egyik arcsin(sqrt(x)) nagyságú, amit jelen pillanatban fokban mérünk, a másik arcsin(sqrt(1-x)) nagyságú, ezt is fokban mérjük. Mivel tetszőleges háromszögben a belső szögek összege 180, ezért derékszögű háromszögben a két hegyesszög összege 90°, vagyis

arcsin(sqrt(x))+arcsin(sqrt(1-x))=90°, és ha ezt radiánba váltjuk át, akkor a bűvös π/2 eredményt kapjuk.

Tehát az állítás tetszőleges xeleme[0;1]-re igaz lesz.