Bizonyítsuk be, hogy ha az a, b, c valós számokra teljesül, hogy a+b+c > 0, ab+bc+can>0 és abc>0, akkor a>0, b>0 és c>0.?

abc>0 --> ebből tudod, hogy semelyik sem lehet 0 és vagy mindhárom pozitív vagy 2 negatív és 1 pozitív. Ha az első eset akkor megvagyunk, nézzük meg, hogy lehetséges-e hogy 2 negatív. Mivel a feladatban a, b, c teljesen szimmetrikus, így legyen a és b a negatív.

a+b+c>0 --> ebből látod, hogy |a+b| kisebb, mint c, hiszen másként negatív lenne az összeg.

ab+bc+ca>0 --> (a+b)*c+ab>0 Itt ab pozitív lesz és (a+b)*c negatív.

Átírhatjuk úgy, hogy ab>|a+b|*c. Már azt is megállapítottuk, hogy |a+b|<c.

Tehát ha az egyenlet igaz, akkor ab>|a+b|*|a+b| is igaz.

Szorozzunk be: ab>a^2+b^2+2ab, aminél ellentmondásra jutunk, hiszen mindkét oldal minden tagja pozitív és így ab nem lehet nagyobb, mint 2ab. Tehát nem fordulhat elő az, hogy 2 szám negatív és 1 pozitív.