Hogyan számoljuk ki a szögfüggvényeket, számológép és függvénytáblázat nélkül?

Mivel középiskolai feladatról van, ezért gondolom a különböző sorfejtések nem játsszanak.

Ha lehet szögmérőt és vonalzót használni, akkor annyi a feladatod, hogy rajzolsz egy olyan derékszögű háromszöget, melyben a fenti kifejezések megtalálhatóak. Például a tg(20°) esetén egy olyan derékszögű háromszöget kell rajzolnod, melynek van 20°-os szöge, ennek meg tudod mérni a két befogóját, majd ezek hányadosa fogja adni a tg(20°) értékét. Persze ehhez is számológép kell, szóval úgy kellene okoskodni, hogy ne kelljen. Erre azt a megoldást találhatjuk, hogy ha az a befogó, amelyiken fekszik a 20°-os szög, annak hossza 1, akkor a másik befogó hossza pont tg(20°) lesz. Tehát szerkesztesz egy egységhosszú szakaszt (mondjuk legyen 1 dm hosszúságú), a szakasz egyik végpontjára állítasz egy merőlegeset, a másik végpontjára felméred a 20°-os szöget, majd a keletkező befogót leméred. Amennyit leolvasol a vonalzóról, annyi lesz a tg(20°) értéke (természetesen valamilyen hibahatáron belül, elvégre a mezei vonalzóval milliméter pontosággal tudsz mérni). A minél pontosabb értékmeghatározáshoz nagyobb egységet kell venni. Amit még úgy-ahogy emberileg lehet kényelmesen kezelni, az az 1 méteres hossz, tehát ha 1 méter befogójú derékszögű háromszöget rajzolsz, akkor több tizedesjegy pontossággal kapod meg az eredményt.

A tg(160°) bajosan számolható ki derékszögű háromszögből. Ehhez a tg(x)=-tg(180°-x) azonosságot érdemes elővenni.

A feladat második felénél pont fordítva kell okoskodni; adott befogójú derékszögű háromszögeket kell rajzolni, és abban a szöget szögmérővel számolni. Érdekesség, hogy ennél mindegy, hogy mekkora derékszögű háromszöget rajzolsz, a szögmérő mindig ugyanakkora szöget fog mérni. A szög minél pontosabb méréséhez pontosabb mérőeszközre van szükség. A mezei szögmérő fok pontossággal tud mérni. Ahhoz, hogy nagyobb pontosság legyen leolvasható, a mérőeszköz méretét kell változtatni.

A függvénytáblázatban adottak a tg(alfa +/- béta), ctg(alfa +/- béta), tg(2*alfa), ctg(2*alfa), tg(0,5*alfa), ctg(0,5*alfa) képletek.

Legyen a = tg 20°. Kiszámolod ezzel tg 40°-et, azzal tg(20°+40°)-et. tg(60°) ismert, abból visszafelé kiszámolod tg(20°)-ot.

tg(160°) a tg(180°) és a tg(20°) segítségével számolható.

Stb.

tg x=3

tgx = sin(x)/cos(x) = sin(x)/gyök(1-sin(x)) = 3

sin(x) = a. Innen kezdve ez egy másodfokú egyenlet, amit meg kell oldani a-ra, majd onnan x-re.

A tg(20°) pontos értékét algebrai úton legjobb esetben is a

[link]

azonosság alapján tudja meghatározni, ami viszont egy nagyon ronda harmadfokú egyenletet fog rá kapni. Ebből következően a pontos eredmény megadására nincs "szép" megoldási mód. Ráadásul számológépet nem lehet használni (bár az egyelőre még nem tisztázott, hogy alapműveletekre lehet-e használni, én úgy vettem, hogy azokra sem).

"tgx = sin(x)/cos(x) = sin(x)/gyök(1-sin(x)) = 3"

Ezzel már jobban lehet haladni, feltéve, hogy helyesen írjuk fel az összefüggéseket. Kimaradt egy 2-es, meg egy +- a történetből:

tgx = sin(x)/cos(x) = sin(x)/(+-gyök(1-sin^2(x))) = 3

Így már el lehet jutni a-ból b-be. Illetve mégsem, mivel ugyanahhoz a problémához jutunk, hogy a

sin(x) = +-3/gyök(10)

egyenletet újfent nem tudjuk megoldani algebrailag szépen.

Szóval marad az a rajzolgatós megoldás, amit én adtam. Persze azok sem pontos eredményt adnak, de nagyságrendileg a négy tizedesjegy meglesz.

Jó ötlet #2 javaslata, de harmadfokú egyenletre vezet:

a^3-3*sqrt(3)*a^2-3*a+sqrt(3)=0

Ez középiskolában nagyon gyanús. Ilyen feladat kitűzése házi feladatnak ...