1-gyel kongruens mod m összetett szám létezésének bizonyítását hogy kell?

Lehet, hogy van kicsit szebb megoldás is, én most hirtelen ezt találtam.

Tehát az 1; m+1; 2m+1; 3m+1; ...; t*m+1; ... sorozatban keresel összetett számot, ahol t tetszőleges nemnegatív egész, m pedig páros (mivel ha páratlan, akkor a sorozatban triviálisan van több páros szám is -ahogy te is megjegyezted).

Mivel t tetszőleges pozitív egész, ezért annak értékét válasszuk m^2-nek, vagyis t=m^2, ekkor az m^2*m+1=m^3+1 tagot vizsgáljuk.

Hogy ez miért jó nekünk? Azért, mert tanultuk azt az azonosságot, hogy

a^3+b^3=(a+b)*(a^2-ab+b), vagyis két szám köbének összege biztosan osztható a két szám összegével, esetünkben az m^3+1^3-nek biztosan osztója az m+1, ennek osztópárja az m^2-m+1. Gond akkor lehet, hogyha az egyik tényező az 1, a másik tényező egy prímszám, mert akkor a számunk is prímszám, vagyis ha

vagy m+1=1, vagyis m=0, ami nem lehet

vagy m+1=p, ahol p prím, vagyis m=p-1, ekkor

(p-1)^2-(p-1)+1=1, ennek két megoldása van, a p=1, ami nem prím és a p=2, ami prím, viszont ekkor m=1. Ha viszont m=1, akkor a pozitív egész számok halmazát kapjuk, amin könnyen található összetettt szám.

Ugyanezt el lehet játszani bármelyik páratlan kitevővel, tehát az m^5+1, m^7+1, m^9+1, ... alakú kifejezésekkel.

Másik megoldás; megsejtettem, hogy az első két tag szorzata is része a sorozatnak, vagyis létezik k pozitív egész, hogy

(m+1)*(2m+1)=k*m+1, ezt az egyenletet k-ra megoldjuk;

2m^2+m+2m+1=k*m+1

2m^2+3m+1=k*m+1

2m+3=k, és mivel 2m+3 biztosan pozitív egész, ezért elmondható, hogy a sorozat (2m+3)-adik tagja osztható lesz az m+1 és 2m+1 számokkal, amik biztosan nagyobbak 1-nél, így ha azok prímszámok is, az említett tagnak valódi osztói lesznek, így pedig összetett számról van szó.

Itt egy elég egyszerű megoldás:

Az általad adott sorozatnak minden olyan szám tagja, amire igaz, hogy modulo m 1-et ad. Ebből adódik, hogy az m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2 is tagja a sorozatnak, ami pedig egy összetett szám.