Mi a 80 legmagasabb hatványa, amellyel osztható a 80! ?

80=16*5=2^4 * 5

A 80!-ban hanyadik hatvanyon van a 2 es az 5? Legyen x es y, tehat:

80! = 2^x * 5^y * egyeb

Akkor legfeljebb az y es az x/4 egeszreszenek minimumaval lehet meg a 80!-ban a 80.

Mennyi x es y?

80!= 1*2*3*...*80

Minden szamban ami 2-vel oszthato (2,4,8,...80) megvan 1-szer a 2.

De minden szamban ami 4-el oszthato (4,8,12,16,...80) megvan meg egyszer.

De minden szamban ami 8-al ...

Az 5-el ugyan ez.

szerintem bármennyi.

DE ha arra gondolsz, hogy maradék nélkül osztható legyen, akkor 1

80 =2^4·5¹

Az 5-tel osztható minden 5. számn, azaz 1-től 80-ig 16 db.

De a 25-ben még 1-szer, ugyanígy 50-ben és 75-ben. Emiatt a 80! osztója: 5^(16+3)=5^19

A 2 megvan minden második számban, azaz 1-től 80-ig 80/2 = 40.

De a 4-ben még 1-szer, a 8-ban 2-szer, a 16-ban 3 stb. Emiatt a 80! osztója: 2^(40+1+2+3+4+5)=2^55

4 az 55-ben megvan 13-szor, 1 a 19-ben megvan 19-szer, ezért 80 a 80!-ban megvan 13-szor.