Az alábbi feladatok megoldását valaki?

3) Általában az ilyen egyenleteknél az visz megoldásra, hogy legelőször áttérünk a z=a+b*i helyettesítésre, ahol a;b valós. Ennél a feladatnál erre nincs szükség, az egyenlet egyszerűségéből fakadóan;

-kibontjuk a zárójelet: z^2+4 = 6+2*gyök(3)*i

-kivonunk 4-et:z^2 = 2+2*gyök(3)*i

-végül gyököt vonunk: z = +-gyök(2+2*gyök(3)*i)

A gyökvonást többféleképpen el lehet végezni; az egyik megoldási mód az, hogy tudjuk, hogy a gyökvonás művelete zárt a komplex számokra, tehát az eredmény mindenképp komplex lesz, tehát valami a+b*i alakú, ahol a;b valós:

gyök(2+2*gyök(3)*i) = a+b*i, négyzetre emelünk:

2+2*gyök(3)*i = a^2 + 2*a*b*i - b^2, rendezzük valós+komplex alakra:

2 + 2*gyök(3)*i = (a^2 - b^2) + 2*a*b*i

két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, hogyha valós és képzetes részeik megegyeznek, tehát

2 = a^2 - b^2

2*gyök(3) = 2*a*b

Ezt az egyenletrendszert kell megoldani. Én ezt most megspórolom:

[link]

Nekünk a valós megoldások kellenek, tehát a=-gyök(3) és b=-1, valamint a=gyök(3) és b=1, tehát a két komplex szám, amit kerestünk, a -gyök(3)-1 és a gyök(3)+1.

Másik megoldás, hogy a gyökjel alatti komplex számot árítjuk trigonometrikus alakra, ekkor ezt kapjuk:

-origótól mért távolsága: gyök(2^2 + (2*gyök(3))^2) = gyök(16) = 4

-az x-tengely pozitív oldalától mért pozitív forgatási irányú szöge: ez a szám az I. síknegyedbe esik, ezért nincs nehéz dolgunk; tg(Ł)= 2*gyök(3)/2 = gyök(3), ebből Ł = 60°, tehát a trigonometrikus alak:

4*(cos(60°)+i*sin(60°)), és ebből Moivre képletével tudunk gyököt vonni:

[link] , eszerint:

2*(cos((60°+k*360°)/2) + i*sin((60°+k*360°)/2)), ahol k helyére 0-t és 1-et kell írnunk a k helyére. Lehet ezeknél kisebb/nagyobb egész számokat is írni, viszont ugyanazt a két számot fogjuk mindig kapni, mivel a szinusz- és koszinuszfüggvény 360°-onként periodikus.

Ennél a feladatnál is használható mindkét számítási mód, viszont figyeljünk oda arra, hogy ha úgy számolnánk, hogy

z = negyedikgyök(-1), és itt számolnánk úgy, ahogy fent látható, akkor egy nagyon csúnya negyedfokú egyenletet kapnánk, amit nem feltétlenül tudnánk (könnyen) megoldani. Helyette kétszer kell a gyökvonást elvégezni;

z^2 = +-gyök(-1) = +-i, és innen a két külön egyenletet kell megoldani;

z^2 = i, vagyis z = +-gyök(i), és ezt már meg lehet oldani a fentiek szerint;

egyrészt z = gyök(i), itt már lehet helyettesíteni,

másrészt z = -gyök(i), itt is.

Ha pedig Moivre képletével akarunk számolni, akkor a trigonometrikus alak:

-1 = 1*(cos(180°) + i*sin(180°)), ennek a negyedik gyöke:

1*( cos((180°+k*360°)/4) + i*sin((180°+k*360°)/4) ), ahol k helyére a 0;1;2;3 számokat kell beírni.

Általánoságban a trigonometrikus alakkal tudunk számolni, az algebrai megközelítés már harmadik gyök esetén és problémás, ötödik gyöktől kezdve -ha a gyökszám nem 2;3 egész többszöröse- már szinte lehetetlen használni.