Ezt le lehet valaki vezetni??

[link]

Mivel három megoldás van, ezért biztos, hogy legalább harmadfokú egyenletet kell kapnunk. Vagy valami jó trükkel egyszerűbb alakra lehet hozni.

De az is megoldható, hogy az egyenletből egész együtthatós negyedfokú egyenletet csinálunk, majd reménykedünk benne, hogy minden megoldása racionális, ekkor Rolle gyöktételével megtalálhatóak a megoldások:

[link]

Egyelőre mást én sem látok.

Ha az egyenlet baloldalának első tagja a, második tagja b,akkor a jobboldal (a^2-b^2)/15. Ekkor az egyenlet a következő alakra hozható:

(a-b)*(a+b-15)=0

Ezután az egyes tényezőknek megfelelő egyenleteket kell megoldani.

A Rolle-gyöktételnek (amit egyébként hívnak racionális gyöktesztnek is) az a lényege, hogy csak a főegyütthatót és a konstans együtthatót használja fel. A tétel bizonyításának lényege, hogy x=p/q alakban keressük az eredményt, ahol p;q egészek, és egyszer p*valami=szám alakra rendezzük az egyenletet, ekkor kiderül, hogy p|szám, utána pedig q*valami=szám alakra rendezzük, ekkor q|szám, így p és q számok, vagyis a p/q tört lehetséges értékei szűkíthetőek. Például:

x^2+2x-3=0. A tétel alapján p|(-3), tehát p értékei lehetnek: -3, -1, 1, 3, q|1, tehát q lehetséges értékei: -1, 1. Ezekből kell összerakni a létező összes módon a p/q törteket, és amiket kapunk, azok lesznek a lehetséges jelöltek az egyenlet megoldására.

Másik példa;

2x^2-3x-35=0, itt p|(-35), q|2, tehát

p lehet: -35, -7, -5, -1, 1, 5, 7, 35

q lehet: -2, -1, 1, 2

Ezekből kell összerakni a p/q törteket, és tesztelni.

Ugyanezek a lépések bármilyen fokú, egész együtthatós polinomegyenlet esetén működiknek, tehát ha például azt írom, hogy

4x^10+25x^6-123x^2-1=0, akkor is csak azt kell nézni, hogy p|(-1) és q|4, így ha van racionális megoldás, akkor azt ezzel mindenképp meg tudjuk találni.

[link]

#6 kérésre a bővebb kifejtés itt van.