Weboldalunk cookie-kat használhat, hogy megjegyezze a belépési adatokat, egyedi beállításokat, továbbá statisztikai célokra és hogy a személyes érdeklődéshez igazítsa hirdetéseit. További információ

Térfogat kiszámítása?

Figyelt kérdés

[link]

[link]


Sziasztok! Az első képen lévő kékkel sraffozott résznek kellene kiszámolni a térfogatát. A második képen megrajzoltam creo-ban, ott látható a végeredmény. Tudnátok segíteni, hogy hogyan kell kiszámolni annak a testnek a térfogatát? Próbáltam összerakosgatni szabályos testekből, de valahogy nem akar összejönni. Előre is köszönöm a segítséget!



febr. 21. 18:32
 1/8 anonim ***** válasza:
100%

Sejtésem szerint ezt csak közelítőeszközökkel tudod csak kiszámítani; ha "vízszintesen", "kellően vékonyra" vágod a testet, akkor a test-részeket közelíteni tudod körszelet alapú csonkagúlákként, amiknek ki tudod számolni a térfogatukat.


De a térfogatot ki tudod számoltatni programmal is. Miért akarod kiszámolni?

febr. 21. 19:11
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/8 anonim ***** válasza:
100%
Vagy esetleg a Cavalieri-elv szerint megpróbálhatsz keresni hozzá egy olyan testet (mondjuk valami henger-, vagy kúpszerűséget), aminek könnyebben ki tudod számolni a térfogatát.
febr. 21. 19:13
Hasznos számodra ez a válasz?
 3/8 A kérdező kommentje:
Mert ez a feladat, hogy papíron ki kell számolni, sajnos így az nem jó, hogy kiszámoltatom egy programmal. Eddig a legközelebb úgy jutottam hozzá, hogy a hengernek a feléből kivontam egy derékszögű háromszög alapú hasábot, de akkor marad két test a két oldalán, aminek nem térfogatát és még azt kellene hozzáadni.
febr. 22. 08:56
 4/8 anonim ***** válasza:

Milyen számolási technikákat tanultatok? Mert ha tanultál integrálszámítást, akkor a felületet felírod függvényként, és a felület integrálja lesz a térfogat.


De ha megnézed, hogy a tested „alaplapjától” mérve milyen függvény alapján változnak az alaplappal párhuzamosan vett síkmetszetek területei, akkor a Cavalieri-elv jól használható. Ha véletlen lineáris lenne a változás (valószínűleg nem az lesz), akkor kúppal lehetne közelíteni.

Az viszont biztos, hogy rendelhető hozzá valamilyen forgástest, aminek a térfogata ugyanannyi. Én valahogy így kezdenék neki;


-Megnézném az előbb említett metszetek területváltozását (felírnám rá a függvényt), ezzel kapnék egy függvényt az alaplaptól való távolság függvényében. Annyi biztosan elmondható a függvényről, hogy folytonos lesz és szigorúan monoton csökkenő, amíg a csúcsig el nem jutunk.

-Azt akarnám elérni, hogy egy forgástest területéből tudjam kiszámolni a test térfogatát, tehát azt kellene megtudnom, hogy adott magasságban mekkora legyen a kör sugara, emiatt az előbb kapott függvényt osztanám pi-vel és az egészből gyököt vonnék, így kapnék egy függvényt a magasság függvényében a sugarakra.

-Az így kapott függvényt megforgatnám az x-tengely körül, és az ismert képlet alapján, integrálással kiszámolnám a térfogatot.


[link]


Ha összevetjük a lépéseket a képlettel, akkor igazából azt kapjuk, hogy a pi-vel osztás és gyökvonás fölösleges lépés volt, vagyis elég a területfüggvényt integrálni a térfogathoz.


A gond akkor lenne, hogyha valami nagyon rusnya függvényt kellene integrálni, de akkor is lehet közelítőmódszert használni.

febr. 22. 10:17
Hasznos számodra ez a válasz?
 5/8 steven95 ***** válasza:

Helyettesítéses integrál:

Tartomány: 0,03m sugarú körlap fele az x-y síkon.

Az y-tengely pozitív fele szelje ketté szimmetrikusan a tartományt.

Ekkor a függvény:

z = f(x,y) = 0,031/0,03*y (x-től független)


Helyettesítés (azaz a tartomány paraméterezése):

r eleme [0; 0,03]

a eleme [0; pí]

így:

x = r*cos(a)

y = r*sin(a)


Jacobi-determináns: (korrekciós tag a helyettesítés miatt):

|J|= r*cos^2(a) + r*sin^2(a) = r


Helyettesítéses integrál felírása:

Integrál(0;pí) { Integrál(0;0,03) { 0,031/0,03*(r*sin(a))*r} dr } da

Integrál(0;pí) { [0,031/0,03*(r^3)/3*sin(a)](0;0,03) } da

Integrál(0;pí) { 0,031/0,03*(0,03^3)/3*sin(a) } da

[-0,031/0,03*(0,03^3)/3*cos(a)](0;pí)

2*0,031/0,03*(0,03^3)/3


Tehát:

2/3*0,031*0,03^2 = 0,0000186 m^3 :)

febr. 22. 12:32
Hasznos számodra ez a válasz?
 6/8 steven95 ***** válasza:

Ha nem lenne világos a Jacobi mátrix dolog:

A fél körlap miatt borzalmas felírni az integrálás határait, így bijektíven megfeleltetjük a területet egy 0,03 x pí oldalú téglának:

x = r*cos(a)

y = r*sin(a)


Az x és y, mint egy vektor két komponense, lederiváljuk parciálisan "r" és "a" szerint, ez adja a Jacobi mátrix oszlopait:

| cos(a) -r*sin(a) |

| sin(a) r*cos(a) |


Remélem segítségedre voltam.

febr. 22. 12:48
Hasznos számodra ez a válasz?
 7/8 steven95 ***** válasza:

Ja és a lényeg lemaradt: figyeljük meg, hogy az eredmény nem függ pí-től:

2/3*m*r^2

annak ellenére, hogy a test a henger egy "ék-szelete" :)

febr. 22. 12:55
Hasznos számodra ez a válasz?
 8/8 A kérdező kommentje:
Négyszer fél évig tanultunk matekot valamilyen formában, de most sikerült igazán megérteni, hogy hogy kell egy testnek integrálással meghatározni a térfogatát :) Köszönöm mindenkinek a segítséget!
febr. 22. 13:46

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2021, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info@gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!