X^2-6x+8 ennek a függvénynek melyik a minimum hely és minimum érték?

Ez tipikusan az a feladat, amit vagy teljes négyzetté alakítással, vagy deriválással meg lehet oldani.

x^2-6x+8 = (x-3)^2-1

Azaz x=3-nál van a minimumhely. A minimum érték pedig akkor adódik, ha a zárójeles tag nulla, vagyis a függvényérték itt -1.

Igen, a betűk leírják, hogy hogyan bánj a számokkal. :P

Azért remélem, hogy elolvasod a magyarázatokat, mielőtt itt kérsz meg mást, hogy oldja meg a házidat. Nem hinném, hogy olyat írtam volna, ami nincs benne a tankönyvben, vagy ne hangzott volna el órán, esetleg ne volna fent valahol egy matekkal foglalkozó weboldalon.

Van egyszerűbb megoldás is;

Tudjuk, hogy a másodfokú függvény képe mindig parabola, ami szimmetrikus, ahol a szimmetriatengely a csúcsponton megy át (merőlegesen az x-tengelyre).

Ez azt is eredményezi, hogy minden értéket a csúcsponttól szimmetrikusan vesz fel a függvény. Ha jól választjuk meg ezt az értéket, akkor egy rakat időt meg tudunk spórolni. A „jó” érték mindig a konstans együttható, nézzük is, hogy miért;

Az x^2-6x+8 konstans együtthatója 8, ezért nézzük meg, hogy mikor veszi fel a 8-at értéknek, vagyis oldjuk meg az

x^2-6x+8=8 egyenletet. Kivonunk 8-at:

x^2-6x=0, itt pedig érdemes x-et kiemelni:

x*(x-6)=0, ennek megoldásai pedig x=0 és x=6. Természetesen megoldóképlettel is meg lehet oldani, és abban is könnyebb számolni a c=0 miatt.

Most az a kérdés, hogy a 0-tól és a 6-tól melyik szám áll egyenlő távolságra, erre a válasz a 3, tehát x=3-nál van a szélsőérték helye, értékét pedig úgy kapjuk, hogy a kifejezésben beírjuk x helyére a 3-at, és kiszámoljuk a helyettesítési értéket.

Persze a teljes négyzetté alakítás is egy jó megoldás, és az ilyen egyszerűbb kifejezéseknél még könnyű is vele számolni, de egy ilyen 7x^2+13x-29-nél már kész horror végigcsinálni a lépéseket. Na, ennél már érdemesebb az előbb leírt megoldási menetet választani.

Általánosságban pedig elmondható, hogy az ax^2+bx+c másodfokú kifejezés szélsőértékhelye x=-b/(2a)-nál van, esetedben ez x=-(-6)/2=3.

Ha még csak most kezditek tanulni a szélsőérték kiszámítását, akkor a tanár a teljes négyzetté alakításos megoldást várja el.

#4

Az általad írt megoldás is tökéletes, de nem érzem horrornak a teljes négyzetté alakítást a megadott példád esetén sem. A teljes négyzetté alakítást lényegében el sem kell végezni, mert a fő együtthatót kiemelve elég csak az elsőfokú tag felét venni - ez lesz az a szám, ami az x mellett áll a zárójelben. Azaz ennek -1-szerese a minimumhely, a minimumértéket pedig az eredeti alakba visszahelyettesítve is megkaphatjuk.

Tehát 7x^2+13x-29 = 7*(x^2+13/7-29/7), amiből már látszik, hogy a 13/7 fele, vagyis 13/14 lesz a zárójelben álló szám: = 7*((x+13/14)^2+...)

A ... pedig nem is érdekel minket. A minimumhely -13/14, ennek behelyettesítésével pedig megkapjuk a minimumértéket.