Igazoljuk, hogy ha a síkot fedi véges sok zárt félsík (tehát az uniójuk az egész sík), akkor kiválasztható közülük három, amelyek fedik a síkot?

Tétel: Ha négy félsík lefedi a síkot, akkor

kiválasztható közülük három, melyek szintén

lefedik a síkot.

Bizonyítás: Nézzük a félsíkok komplementereit.

Ha semelyik három félsík nem fedné le a síkot,

akkor ezek közül bármelyik három metszené

egymást. Ekkor viszont Helly tétele miatt (a

félsíkok, és így komplementereik is, konvex

halmazok) lenne közös pontja mind a négynek

is, azaz a négy félsík együtt sem fedné le a

síkot.

[link]

Nem tudom, hogy ebből mennyit értesz, de a bizonyítás ennyi 4 félsík esetén.

A te feladatod gyakorlatilag az, hogy megmutasd, hogy ha véges sok félsík van, akkor biztosan van 4, hogy azok fedik a teljes síkot. Ha ez megvan, akkor a fenti tétel miatt igaz lesz az állítás (Persze feltéve, hogy legalább 4 félsík van).