ABC háromszög belsejében a P pontra teljesül, hogy PA=PC, PB=2 és APC derékszög. Továbbá AB=4, BC=5. Mennyi AC?

Lehet, hogy van egyszerűbb megoldás is, én eddig nem találtam. Bár eléggé rusnya az eredménye, szóval kétlem, hogy egyszerűbben kijönne;

Rajzoljuk fel az ábrát. Legyen PA=PC=x, ekkor a kérdéses szakasz AC=gyök(2)*x lesz, mivel az APC háromszög egy egyenlő szárú derékszögű háromszög, így Pitagorasz tételéből ez jön ki.

Legyen a BPC szög α, ekkor az APB szög 270°-α nagyságú lesz. A BPC és APB háromszögekben fel tudunk írni két koszinusztételt:

BPC: 5^2 = 2^2 + x^2 - 2*2*x*cos(α)

APB: 4^2 = 2^2 + x^2 - 2*2*x*cos(270°-α)

A koszinuszfüggvény tulajdonságaiból rájöhetünk, hogy cos(270-α°)=-cos(90°-α)=-sin(α), tehát a második egyenlet így fog kinézni:

4^2 = 2^2 + x^2 - 2*2*x*(-sin(α)), vagyis

4^2 = 2^2 + x^2 + 2*2*x*sin(α)

Ez azért jó nekünk, mert az első egyenletből ki tudjuk sajtolni a sin(α)-t; rendezzük az egyenletet cos(α)-ra:

cos(α) = (x^2-21)/(4x)

Van nekünk egy olyan azonosságunk, hogy

sin^2(α) + cos^2(α) = 1, ebbe írjuk be a fenti eredményt;

sin^2(α) + ((x^2-21)/(4x))^2 = 1, kivonunk:

sin^2(α) = 1 - ((x^2-21)/(4x))^2, végül gyököt vonunk:

sin(α) = gyök[ 1 - ((x^2-21)/(4x))^2 ]

Mivel négyzetgyököt vontunk, ezért alapvetően kellene az eredménybe a +-, azonban α-ról tudjuk, hogy egy háromszög szöge, emiatt biztosan 180°-nál kisebb, és a 180°-nál kisebb szögek szinusza pozitív, ezért csak a pluszos megoldás kell nekünk. Ezt írjuk be a második eredeti egyenletben sin(α) helyére:

4^2 = 2^2 + x^2 + 2*2*x*gyök[ 1 - ((x^2-21)/(4x))^2 ]

Elsőre nagyon ijesztő lehet ez az egyenlet, de rendezés után azt látjuk, hogy az egyenlet egy negyedfokú egyenlet, ami másodfokúra visszavezethető. A pontos megoldást a WolframAlpha megadja:

[link]

Tehát x = gyök[ (41-gyök(511))/2 ] lesz x értéke. Ezt még meg kell szoroznunk gyök(2)-vel az AC oldal hosszához, így az pontosan gyök[ 41-gyök(511) ] centiméter hosszúságú.