Koordinátageometria: hogy számolod ki két megadott kör közös érintőegyenesét?

Szerintem az a kulcs, hogy az érintő esetében van egy másodfokú és egy elsőfokú egyenletből álló egyenletrendszerünk. A közös pont(ok)hoz az elsőfokúban kifejezhetjük mondjuk y-t és behelyettesithetjük a másodfokúba. Az egyenes akkor lesz érintő, ha a másodfokú megoldóképlet determinánsa 0 lesz.

Így amikor két kör közös érintőit keressük, akkor a két determináns=0-ából kell egy egyenletrendszert felállítani és abból meghatározni az érintő paramétereit.

#2

igaz.

Egyébként nem kell hozzá más, csak a hasonlóság.

Esetenként szétbontjuk őket, ahogyan tetted, azonban még egy dologra oda kell figyelni; ha a két kör sugara azonos, akkor a „külső” közös érintők párhuzamosak lesznek, így azt külön kell tárgyalni.

Ha a sugarak különböző hosszúak, akkor azt vehetjük észre, hogy a külső érintők metszik egymást. Ha a körök középpontjára fektetünk egy egyenest, akkor pont ezen a metszésponton fog áthaladni (szimmetriaokok miatt). Ha behúzzuk az érintési pontokba a sugarakat az egyik érintőnél, akkor azok párhuzamosak lesznek egymással, így egy olyan alakzat keletkezik, amiben használható a párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele. Ha az érintők metszéspontja x távolságra van a kisebbik kör középpontjától, a középpontok pedig egymástól l távolságra, akkor

x/r = (x+l)/R, ebben egyedül x az ismeretlen, mivel a többi kiszámolható. Szorzunk a nevezőkkel:

R*x = r*x + r*l, kivonunk r*x-et:

R*x - r*x = r*l, kiemelünk x-et:

x*(R-r) = r*l, végül osztunk:

x = r*l/(R-r)

Tehát a kisebbik kör középpontjától r*l/(R-r) távolságban kell keresni az érintők metszéspontját.

Ebben a pillanatban fel tudunk írni egy köregyenletet, melynek középpontja a kisebbik kör középpontja, sugara x hosszú, valamint egy egyenest, amely áthalad a körök középpontjain. Ennek a kettőnek kell kiszámítanunk a metszéspontját, amiből persze 2 lesz, de csak az egyik jó nekünk (amelyik távolabb van a nagyobbik kör középpontjától).

Innen gyakorlatilag az a kérdés, hogy adott egy külső pont, és abból hogyan lehet érintőt húzni egy körhöz, ez pedig rutinfeladat.

Ha a két kör sugara egyenlő hosszúságú, akkor azt tudjuk, hogy a középpontokra fektetett egyenes párhuzamos az érintőkkel, tehát csak két olyan egyenesre van szükség, amely ezzel párhuzamos és a köröket egy-egy pontban metszi.

A „belső” érintőknél hasonló a helyzet. Ha a két kör érinti egymást, akkor nincs nehéz dolgunk, elvégre az érintési pontot ki lehet számolni, a körök középpontjaiba a közös pontból mutató vektorok normálvektorai az érintő egyenesnek. Ha különböznek a sugarak, akkor kössük össze a középpontokat és húzzuk be az egyik érintőt, ekkor keletkezik két háromszög, melyeknek egyik csúcsa közös. Mivel a két háromszögben a szögek páronként megegyeznek, ezért ezek hasonlóak. Most vegyük a keletkezett metszéspont és a középpontok távolságát, ez legyen t és T. Mivel a háromszögek hasonlóak, ezért az egymásnak megfeleltethető oldalak aránya meg kell, hogy egyezzen, vagyis

r/R = t/T

Ez azt jelenti, hogy a középpontokat összekötő szakaszt r:R arányban kell felosztani, osztópontot pedig nem egy bonyolult dolog számolni, mivel képlet is van hozzá.

Innentől ugyanaz a helyzet, mint az előbb; külső pontból kell tudni körhöz érintőt számolni.

Ha az egyik kör tartalmazza az egyiket, és a köríveknek nincs közös pontjuk, akkor értelemszerűen érintő sincs (ahogyan le is írtad). Ahhoz, hogy megtudjuk, hogy a két kör milyen viszonyban van, ahhoz a két kör egyenletét egyenletrendszerbe kell foglalni, és ha annak nincs valós megoldáspárja, akkor nem metszik egymást. Most jön az, hogy a kisebbik kör középpontját be kell írni a nagyobbik kör egyenletébe. Ha azt kapjuk, hogy az eredmény nagyobb, mint a jobb oldal, akkor a kisebbik kör középpontja a nagyobbik körön kívül fekszik, tehát lesznei közös érintők, ha pedig kisebb az eredmény, mint az egyenlet jobb oldalán álló szám, akkor a nagyobbik tartalmazza a kisebbiket, így nincs közös érintő.

#7

Köszönöm, hogy megírtad.

Abban egyetértek 8-al, hogy izlés kérdése, hogy melyik az egyszerűbb. Mindkettő meglehetősen munkás, pedig az érintő egyenesek együtthatóinak tényleges kiszámolását nem is tartalmazzák.

Nem is értem, hogy hol adhattak fel ilyen feladatot. Talán egy középiskolai matematika versenyen? A kérdező megmondaná, ha még olvassa a thread-et?