Hány olyan 5 jegyű számot tudunk létrehozni, melynek mindegyik tagja páros és osztható 9-el, illetve bármely tagot felhasználhatjuk többször is?

9-cel akkor oszható egy szám, hogyha a számjegyek összege osztható 9-cel. Például a 60624 szám osztható 9-cel, mivel a számjegyek összege 18.

5 négyjegyű páros szám összege legfeljebb 8+8+8+8+8=40 lehet. Mivel csak páros számjegyek vannak, ezért az összeg csak páros lehet, tehát meg nézni, hogy mely páros számok oszthatóak 9-cel 40-ig, ezekből 2 van: 18 és 36. Tehát azt kell megnézni, hogy a 18 és a 36 hogyan állhat elő páros számok összegeként:

36 összegként: 8+8+8+8+4, 8+8+8+6+6, más nincs, már csak azt kell megnézni, hogy ezek hányféle sorrendben írhatóak fel.

18 összegként: ennél az eseteket érdemesebb ágrajzzal összeszedni; leírod a 18-at, majd a 18-ból vonalakat húzol. A vonalakra azt írod, hogy a 18-ból milyen számot vonnál ki (8-ast, 6-ost, 4-est, 2-est, első lépéskánt 0-t nem vonhatsz le), a vonalak végére pedig a különbségüket írod. Ugyanezt megcsinálod az összes többi számmal is, amíg a végén nem lesz mindenhol 0. Az ágrajzból így le tudod olvasni a megfelelő számok számosságát (pontosan annyi van, ahány 0 lesz az ágrajz végén)

"Hány olyan 5 jegyű számot tudunk létrehozni, melynek mindegyik tagja"

Általában egy összeadásnak vannak tagjai. Itt mit jelent az, hogy egy szám "tagjai"?

Viszont mondok egy közelítő számot:

A legnagyobb 5 jegyű szám 99999, a legkisebb 10000, tahát ilyen számból 99 999-10 000+1=90 000 db van. Ezek közül minden 9-dik osztható 9-cel, vagyis ezek száma 10 000.

A csak páros számjegyekből álló ötjegyű számok száma 4*5^4=2500. Ezek 90 000/ 2500= 36-szor kevesebben vannak, mint a megkötés nélküli ötjegyű számok.

Ha a 9-cel oszthatóak között is ilyen az arány (ami nem feltétlenül igaz), akkor kb. 10 000/36=277,77 ilyen szám van. Szóval nagyjából 280.

De most már kiváncsi lettem, hogy mennyire jó a közelítésem, úgyhogy kiszámolom a pontos számot is. Akármennyire izzadtságszagú is a módszer.

Osszuk el 2-vel a számot. Akkor minden számjegy feleződik és a megengedett számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4. Továbbra is osztható marad 9-cel.

A számjegyek összege 9. Kezdjük felírni a számjegyek kombinációit. A számjegyek legyenek nem-szigorúan növekvőek és ha nem jöhet ki a 9, hagyjuk abba. Írjuk fel az első 3 számjegyet és számoljuk ki a maradék 2-t.

000

00144

00234

00333

004

01134

01224

01233

013

014

02223

023

03

11124

11133

11223

113

114

12222

2

A számjegyek összege 18. A számjegyek legyenek nem-szigorúan csökkenőek és ha nem jöhet ki a 18, hagyjuk abba

44442

44433

4442

Tehát a lehetséges számjegykészletek: Melléjük írom, hogy mi lehet az első szám és mi a maradék 4 szám, azok hányféle sorrendben lehetnek. És mennyi a sorrendek összege.

00144 1 0044 4!/2!/2!=6 4 0014 4!/2!=12 összesen 18

00234 2,3,4 00ab 3*4!/2!=36 összesen 36

00333 3 0033 4!/2!/2!=6 összesen 6

01134 1 0134 4!=24 3,4 011a 2*4!/2!=24 összesen 48

01224 1,4 022a 2*4!/2!=24 2 0124 4!=24 összesen 48

01233 1,2 0a33 2*4!/2!=24 3 0123 4!=24 összesen 48

02223 2 0223 4!/2!=12 3 0222 4!/3!=4 összesen 16

A 0-át nem tartalmazóknál nem kell külön kezelni az első számjegyet:

11124 5!/3!=20

11133 5!/3!/2!=10

11223 5!/2!/2!=30

12222 5!/4!=5

44442 5!/4!=5

44433 5!/3!/2!=10

A végösszeg 300. (Hacsak el nem számoltam valahol.)

Kicsit szégyellem, hogy ennél nem tudok jobb megoldást. :-(

Nagyon gyanús, hogy ha ennyire kerek szám jött ki, akkor létezik rövidebb megoldás is. 300=2*2*3*5*5

Az ágrajzos módszer az ÖSSZES jó számot megadja, utána már nem kell permutálgatni. Viszont nagyon szerteágazó lesz így az ábra, így érdemesebb több kisebb ágrajzokat készíteni.

Eszembejutott egy másik lehetséges megközelítés; aszerint keressük az eseteket, hogy hány darab 0 van a számban;

-ha 0 darab 0 van a számban, akkor a legkisebb szóbajöhető szám a 22222, ami nem osztható 9-cel, mivel számjegyeinek összege 10. Itt már csak az a kérdés, hogy hányféleképpen tudjuk felfejleszteni a számjegyek összegét 18-ra, illetve ha a fenti felezéses módszert választjuk, akkor az 5-öt kell 9-re; ez utóbbi eset könnyedén összeszedhető ismétléses kombinációval, csak azt az esetet kell kiszitálni, amikor 4 egyforma áll egymás mellett.

-ha 1 darab 0 van, akkor négyjegyű számokat vizsgálunk, a legkisebb szám a 2222, itt az összeget 8-ról 18-ra kell emelni, illetve felezés után 4-ről 9-re. Itt ugyanaz a probléma áll elő, mint az eredeti feladatban, de az egymás mellett 4 egyforma és 5 egyforma kiszitálása nem okozhat nagy gondot (szitformula azért kell hozzá). A kapott esetszámot még meg kell szorozzuk 4-gyel, ugyanis a négyjegyű számokból úgy lesz 1 darab 0-t tartalmazó ötjegyű, hogy beszúrunk egy 0-t valahova, amit 4-féleképpen lehet mindig megoldani.

-ha két darab 0 van, akkor a 222 számból indulunk ki, a 6-ot kell 18-ra felfejleszteni, amire azért nem sok lehetőség van: 882, 828, 288, 864, 846, 684, 648, 468, 486, 666, de itt is lehet esetszétválasztásonként számolni, és kijön a 10. Ezt még szorozzuk (4 alatt a 2)=6-tal, mivel a háromjegyű számokba a két nullát ennyiféle módon lehet beszúrni, tehát 6*10=60 darab két nullát tartalmazó ötjegyű szám van.

Több nulla nem lehet a számban, mert összegnek nem tud kijönni a 18.

Ezek alapján az összes eset megszámolható viszonylag könnyedén.