Erre a feladatra keresem a megoldást: Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M(1,2,-1) ponton és: a) párhuzamos e: 2x - y + 3z + 1 = 0 5x + 4y - z - 7 = 0 egyenessel b) párhuzamos az Ox tengellyel. ?

a) Először adjuk meg paramétersen az egyenletrendszerrel adott egyenest, ehhez a

2x-y+3z+1=0

5x+4y-z-7=0

Ehhez a legkönnyebben Gauss-Jordan eliminációval jutunk, az egyenes egy paraméterezése:

x=-11/13-13t/3

y=19/3+17t/3

z=t

Azaz a sík egyenlete kicsit szebb alakban: (x,y,z)=(-11/3,19/3,0)+t(-11/3,17/3,1)

Eszerint (-11/3,17/3,1) egy irányvektora. A feladatunk innentől egyszerű, adott egy pont és egy irányvektor, az egyenes egyenlete:

(x,y,z)=(1,2,-1)+t(-11/3,17/3,1)

b) Az x-tengely egy paraméterezése (x,y,z)=(0,0,0)+t(1,0,0)

Eszerint a kérdéses egyenesnek is irányvektora (1,0,0), ahonnan az egyenes egyenlete: (x,y,z)=(1,2,-1)+t(1,0,0)

Érdemes felrajzolni a dolgokat, onnan jól látszanak ezeknek a formuláknak az egyszerű szemléletes tartalma.

Vagy így is lehet:

a) A egyenes egy irányvektora a síkok normálvektorainak, (2;-1; 3) és (5;4;-1), vektoriális szorzata. ...

b) A keresett egyenes egy irányvektora (1;0;0). ....