Matematika kombinatoroka 10.osztaly !SOS! Tudna esetleg egy hozzäértő segíteni?

1. Első megoldás: (14 alatt az 5)*(9 alatt a 4)*(5 alatt a 3)*(2 alatt a 2)=kiszámolod.

Második megoldás: Ha számítana a sorrend, akkor egyszerűen 14! lenne a válasz. Viszont a sátrakon belül a sorrend nem számít, ezért osztunk annyi faktoriálisokkal, ahányas férőhelyek vannak, tehát 14!/5!/4!/3!/2!, ami felírható 14!/(5!*4!*3!*2!)-ként is.

Harmadik megoldás: állítsuk a gyerekeket valamilyen sorrendbe (például ABC szerint), és mindenki húzzon egy dobozból egy számot. Van 5 darab 5-ös, 4 darab 4-es, 3 darab 3-as és 2 darab 2-es szám. Aki emilyen számot húz, olyan férőhelyes sátorba megy, az azonos számok között pedig nem teszünk különbséget. Hányféleképpen tudnak húzni?

Ezzel pedig egy ismétléses permutációként tudjuk a feladat megközelíteni, vagyis a 14!/(5!*4!*3!*2!) eredményt kapjuk, ami pont ugyanaz, mint az előbb. Egyébként nem véletlenül.

2. Ezeknél a feladatoknál az szokta a gondot okozni, hogy a 0 nem állhat elől, mivel akkor nem annyi jegyű számot kapunk, például a 058 csak egy kétjegyű szám. Ennek megfelelően alapvetően úgy kellene számolni, hogy jegyenként végignézzük, vagyis hogy hány 10-jegyű, hány 9-jegyű, stb. szám van. Ennek megfelelően 10-féle esetet kell végigszámolnunk, ami azért annyira nem vészes.

Azonban a 0-s kezdődést a javunkra is tudjuk fordítani; ha egy adott jegyű számcsoportban megszámoljuk a 0-val kezdődő számokat is, akkor azzal az 1-gyel kisebb jegyű számokat is megszámoljuk;

10- és 9-jegyű számok: az utolsó helyiértékre valamelyik páros számjegynek kell mennie, ők 5-en vannak, a többi számjegy sorrendje tetszőleges, így 9!*5 darab számot tudtunk megszámolni.

8- és 7-jegyű számok: itt is az utolsó helyiértékre 5-féle szám mehet, a maradék 7 helyre 9*8*7*6*5*4*3-féleképpen mehetnek a számjegyek, így 9*8*7*6*5*4*3*5 darab 8- és 7-jegyű szám van.

6- és 5-jegyű számok: a fentiek alapján: 9*8*7*6*5*5

4- és 3-jegyű számok: 9*8*7*5

2- és 1-jegyű számok: 9*5

A számításokkal kapott eredményeket összeadjuk, és az lesz az eredmény, HA csak a pozitív egész számokat kéri a feladat. Ha a 0-t is kéri, akkor még 1-et hozzáadunk. Ha pedig a negatívakat is, akkor ők pont annyian vannak, mint a pozitívak, tehát a pozitívakra kapott eredményt szorozzuk 2-vel, és még 1-et hozzáadunk a 0 miatt.

3. Ha egy számjegy többször is felhasználható: 4*5*5*5.

Ha minden számjegy legfeljebb 1-szer, akkor 4*4*3*2.