Ezt a feladatot hogyan kell megoldani? Gondoltam rá, hogy megrajzolom...de azt biztosan nem fogadja el a tanárom...

Először is, fizikailag elég nehéz lenne megrajzolnod, mert 1 méteres papírlap nem nagyon van. Másodszor, Bianka nagyon ráért.

A feladatról: nem tudom, melyik témakört veszitek, de ha a hasonlóságot, akkor abból lenne érdemes kiindulni. Ha van egy kis szerencsénk, akkor az átló egy kisebb téglalap két csúcsán megy át, majd ezt lehet a következő lépésnél felhasználni.

A hasonlóság alapján arra jöhetünk rá, hogy a legkisebb oldalakkal rendelkező olyan téglalap, melynek csúcsain átmegy az átló, 5*7 cm hosszúságú. Ezt már egy fokkal könnyebb felrajzolni, és megnézni, hogy abban hány négyzeten megy át az átló. Ha felrajzolnánk az eredeti ábrát, akkor gyakorlatilag 5 ilyen téglalapot látnánk, tehát a kis rajzból leolvasott értéket csak 5-tel meg kell szorozni.

Hogy az 5*7-es téglalapnak hány négyzetén megy át, és azt hogyan lehet kiszámolni (rajzolás nélkül), arra most nincs "elegáns" megoldásom.

Megkeresed a 105-nek és a 75-nek a legnagyobb közös osztóját, ez 15. A 105×75 cm-es téglalap oldalait 15-tel elosztva megkapod azt a legkisebb, egész számú oldalakból álló kis téglalapot, amely hasonló a nagy téglalaphoz. Ennek oldalai 105/15=7 cm és 75/15=5 cm. Ebbe berajzolod az 1×1 cm-es négyzeteket. Aztán behúzod a téglalap átlóját és megszámold, hány kis négyzeten halad át, én 11-et számoltam. Azt kell még kitalálni, hogy a nagy, 105×75 cm-es téglalapban mennyi kicsi, 7×5 cm-es téglalap van. Ez kiszámítható, ha a megfelelő oldaliakat elosztod egymással:

105/7=75/5=15 (annyi, amennyi a 105-nek és 75-nek a legnagyobb közös osztója volt)

Ezt megszorzod a kis téglalapban megszámolt négyzetek számával és megkapod mennyi olyan 1×1 cm-es négyzet van a 105×75 cm-es téglalapban, amelyiken áthalad az átló, ez:

15·11=165

Ez így már „elegánsabb” megoldás, mint az egészet felrajzolni és megszámolni. Arra most én sem jövök rá, hogy lehetne számítással igazolni, hogy a 7×5 cm-es téglalap átlója 11 kis négyzeten megy át.

2-es vagyok

„Azt kell még kitalálni, hogy a nagy, 105×75 cm-es téglalapban mennyi kicsi, 7×5 cm-es téglalap van.”

Ez így nem pontos, inkább lerajzoltam:

[link]

Az első válaszban elírtam, 5 helyett 15-nek kellene lennie.

Ha felrajzoljuk a kis ábrát, ahogy azt #3 tette, és a metszett mezőket kiszínezzük, akkor egy "útvonalat" láthatunk, ahogyan a mezőket be le járni. Triviális, hogy ha nem csúcson halad át az átló, akkor két csúcs közötti szakaszon, és ezen szakaszhoz tartozó két téglalap között van átjárás.

Ha a bal alsó sarokból indítjuk a jobb felső sarokba az átlót, akkor minden esetben egy mezőről csak a tőle jobbra vagy felette levő mezőre tudunk lépni. A jobbra, felfelé lépések száma viszont korlátozott; pont annyi, amennyit lehet ezen irányokba lépni a kezdőmezőről; jelen esetben (ha a vízszintes oldal a hosszabb) 6-ot tudunk jobbra lépni és 4-et fel, így 1+6+4=11 mező lesz érintve. Általánosan, ha x és y egymáshoz relatív prímek, akkor az átló 1+(x-1)+(y-1), vagyis x+y-1 mezőt érint, ha pedig nem relatív prímek, akkor az előbbi eredményt meg kell szorozni a két szám legnagyobb közös osztójával (ha relatív prímek, akkor ez 1, tehát ott is működik a vele való szorzás).

Ha esetleg ez a gondolatmenet nem teljesen meggyőző, akkor itt egy másik; a téglalapot 4 vízszintes és 6 függőleges egyenes osztja fel, ezen egyenesek közül mindegyiket pontosan 1-szer metszi az átló, tehát összesen 4+6=10 metszéspont számolható meg. Ezekre a metszéspontokra "kapukként" tekintünk, ezeken keresztül tudunk az egyik mezőről (pontosan egy) másik mezőre lépni. 10 kapu 11 négyzetet választ el egymástól, tehát összesen 11 mezőre tudunk lépni.

Általánosan: x és y oldalhossz esetén (x-1) és (y-1) darab egyenes van, ugyanennyi metszéspontjuk van összesen az átlóval, és ezek a metszéspontok (x-1)+(y-1)+1, azaz x+y-1 darab négyzetet választanak el egymástól.

A kezdő négyzetet és a célt 104 függőleges és 74 vízszintes vonal választja el. Amikor az átló metsz egy ilyen vonalat, akkor belép egy új négyzetbe. Ez első közelítésben 104+74+2=180 négyzetet jelent.

De a legnagyobb közös osztónak megfelelően minden 15-dik vonalmetszésnél egy csúcson vagyis egyszerre két vonalon megy át. Tegyük fel, hogy a csúcson való áthaladás nem számít a négyzetbe való belépésnek. Ezért a végeredmény 105/15-1+75/15-1=10-el kevesebb. Ennyi vonalon megy át az átló, anélkül, hogy belépne egy négyzetbe.

A végeredmény 170.