Segítenél levezetni 5. osztályos szinten? Az a=122333444455555....202620262026...2026 szám hány számjegyből áll és melyik szám áll a 100. helyen?

Kizárt dolog, hogy ez 5-es feladat. Nem azért, mert annyira bonyolult matekot kell alkalmazni, hanem mert olyan nagy számokkal kell dobálózni benne, ami kívül esik a számkörön, amiben egy ötödikesnek tájékozódnia kellene tudni.

Amúgy az eredmény egy olyan szám, aminek több, mint 7 millió számjegye van, és a 100. szám az egy 3-as lesz.

Ez tipik az a matekházi, amire hasból beírsz egy eredményt, aztán a tanár majd elmagyarázza, hogy szerinte miért nem jó...

"...hány számjegyből áll..."

A számjegyek száma 1+2+3+...+2025+2026=(1+2026)*2026/2=2 053 351. Ezt az (n*1)*n/2 képletet úgy lehet megkapni, hogy össze kell párosítani az első és az utolsó számot. És a másodikat az utolsó előttivel És így tovább. A páron belüli összeg mindig 2027 lesz, a párok száma pedig 2026/2.

"melyik szám áll a 100. helyen"

Ha (n+1)*n/2<100, akkor mekkora lehet a legnagyobb n? (n+1)*n<200. Hanyagoljuk el az 1-est. Gyök(200)>14.

Tehát a számsorunk eleje ilyen: 122333444455555....14141414. Ennek a résznek a hossza (14+1)*14/2=105.

Az utolsó számjegy a 105-ödik. Számoljuk vissza a számjegyeket a 100-adikig. Az eredmény 1.

"Ezt az (n*1)*n/2 képletet "

Javítok: "Ezt az (n+1)*n/2 képletet "

A második kérdés precízen nyilván az, hogy melyik számjegy áll a 100. helyen.

Mert szó szerint ragaszkodva a "melyik szám áll a 100. helyen" kérdéshez, akkor az volna a válasz, hogy az "a". Hiszen az betölti az egész lapot és még többet is.

Az megy, hogy hogyan kell egymást követő egész számokat összeadni? (Csak azért, hogy ne írjam le harmadikféleképpen, ha már ezt tanulták…)

Mondjuk krwkco közben megelőzött, de ha már majdnem lepötyögtem, akkor befejezem legalább az egyik felét.

Tényleg úgy érdemes indulni, ahogy a 15:19-ben írod. Szétszedjük a számsort az 1-jegyű, 2-jegyű, 3-jegyű és 4-jegyű számokat ismételgető részeire.

Az 1-jegyűek egyszerű:

1 --> 1*1 számjegy,

22 --> 2*1 számjegy,

…

999 999 999 --> 9*1 számjegy,

összesen (1 + 2 + 3 + … + 9)*1 = (10*9/2)*1 = 45 számjegy.

És utána hasonlóan:

1010…10: 10*2 számjegy,

1111…11: 11*2 számjegy,

…

9999…99: 99*2 számjegy,

összesen (10 + 11 + … + 99)*2 = (109*90/2)*2 számjegy.

A 3-jegyűek összesen (100 + 101 + … + 999)*3 = (1099*900/2)*3 számjegyet tesznek ki.

A 4-jegyűek pedig (1000 + 1001 + … + 2026)*4 = (3026*1027/2)*4-t.

Összesen összesen tehát:

(10*9/2)*1 + (109*90/2)*2 + (1099*900/2)*3 + (3026*1027/2)*4 = 7 708 909 számjegyből áll a szám.

A többértelműségen én is gondolkoztam, a nagy szám 100. jegye (amire szerintem minden valószínűség szerint gondolnak) az 1-es. (Ugye onnan kezdve, hogy 100 szavas fogalmazást kell tudni írni, az első 100 számjegyet se nehéz, akár tényleg brute force, leírni.)

Ha úgy értik, hogy melyik számot írjuk le 100.-nak az 1, 2, 2, 3, 3, 3,… sorozatban, akkor az pedig a 14 lesz.

(Az első válaszadóról most eszembe jutott az a valaki, aki egy „Mennyi 10-nek a fele?” típusú kérdéshez felháborodva beírta, hogy ne itt akarjanak egyetemi szintű versenyfeladatokat megoldatni az emberek… :D)

#8

"Mondjuk krwkco közben megelőzött, ..."

Csak éppen rossz megoldást adtam. :-(

"és melyik szám áll a 100. helyen?" Számjegy.

Részletesebben:

Ahogy 8-as írta: 1-től 9-ig 45 számjegy van. A 10-esek 20 számjegyet adnak hozzá. A 11-esek 22-t. A 12-esek 24-et. Ez több, mint 100.

És a 10-12 számokból képzett szakaszokban a páros helyeken 1-esek lesznek.