Az a, b, c, d, e egész számokra teljesül, hogy 1<=a<b<c<d<e. Bizonyítsuk be, hogy 1/[a;b]+ 1/[b;c] +1/[c;d] + 1/[d;e]<=15/16 ([x;y] az x és y egész számok legkisebb közös többszörösét jelöli. )?

Az állítás ebben az esetben nem igaz.

Pl. mondasz 5 különböző prímszámot, és már nem igaz a fenti reláció.

Azt hiszem, nincs igazad.

Ha veszel 5 prímszámot, azok páronként relatív prímek, így egy pár legkisebb közös többszöröse egyenlő a pár tagjainak szorzatával, ezek reciprokainak összege pedig biztos kielégíti a feladat szerinti egyenlőtlenséget.

Jelöljük a és b legnagyobb közös osztóját (a;b)-vel.

(a;b) osztója a-nak és b-nek, tehát osztója b-a-nak is, és mivel b-a nem 0, így (a;b) <= b-a

Mivel ab = (a;b)[a;b], ezért

1/[a;b] = (a;b)/ab <= b-a/ab = 1/a - 1/b

Hasonlóan felírva a többire is a becslést egy csomó minden kiesik a jobboldalon, és marad

1/a-1/e <= 1 - 1/e

Na ezzel kellene valamit kezdeni.

Nyilván, ha e <= 16, akkor készen vagyunk.

Ha e > 16, akkor meg érdemes lenne már az elején a következő becslést alkalmazni:

1/[d;e] <= 1/e <= 1/16

És akkor már csak azt kellene belátni, hogy

1/[a;b]+ 1/[b;c] +1/[c;d] <= 7/8