Hogyan kell ezt megoldani? Cosx=2sinx

ezt?

cosx/sinx=2

ctgx=2, innen meg számológéppel visszakeresed a szöget

x=26,56fok+k180fok, ahol k egész szám

Képletben az ,,alfa''-t egyszerűen ,,a''-nak fogom írni.

A négyzetre emelést ^2 jellel jelölöm.

Először nézzünk néhány nehézkes próbálkozást, ami túl nehézkes, végig sem viszem.

cos a = 2 sin a

Leosztom mindkét oldalt ,,cos alfa''-val.

Tegyük meg a kikötéseket:

cos a =/= 0

azaz

a =/= pi/2 + k pi

Lássuk, mi lett a képletből a leosztással:

1 = 2 sin a / cos a

1 = 2 tg a

Leosztom mindkét oldalt 2-vel (ezt egyszerre is lehetett volna, de így könnyebb volt rájönni)

1/2 = tg a

Melyik szög tangense 1/2?

Nézzük picit meg, mi is az a tangens?

Trigonometriai megfontolások alapján az alfa szög tangense éppen:

Derékszögű háromszögben, szöggel szembeni befogó és a szög melletti befogó aránya. Ha olyan szerencsém van, hogy a szög melletti befogó éppen 1, akkor a tangens éppen a szöggel szembeni befogó lesz.

Az 1 és 1/2 hosszú befogókkal rendelkező derékszögű háromszögnek mekkora az a szöge, amely az 1 hosszú befogó mellett (és az 1/2 hosszú befogóval szemben) van?

Nehéz lenne trigonometriai tisztán megfontolások alapján erre választ adni. Ezért a fenti megoldás csak akkor ad lehetőséget továbblépésre, ha meg van engedve, hogy függvénytáblából való keresgéljem a tangens függvény értékeit.

Tegyük fel, hogy meg van engendve, és kaptam valamilyen alfa0 szöget. Mi az összes megodás?

Fordítsuk le a feladatot az ,,egységkörös-irányvektoros'' ábra nyelvére.

1) az origó középpontú egység sugarú kör (1, 0) pontjába húzunk egy érintőt (ez a ,,fügőleges'', vagyis az y tengellyel párhuzamos egyenes).

2) az x tengellyel alfa irányszöget bezáró helyvektort meghosszabbítjuk. Hol metszi ez az érintőt?

3) A metszéspont y koordinátája éppen az alfa szög tangense

y

^

| |

| /| tg a

| / |

| / |

_|_ / |

| ~ |

sin a | / \ |

|/ a I|

-----------+-------+--> x

0 |cos a I| 1

/ | / |

/ | |

/ | |

/ |

Milyen szögekre metszi a mindkét irányba meghosszabbított forgó irányvektor az érintőt az 1/2 ordinátájú pontban?

A tangens függvény periodicitása miatt alfa = alfa0 + k pi ahol k tetszőleges egész szám.

Vizsgálandó, ütkozik-e a kikötésekkel.

Mint írtam, ez a megoldás nem túl szép. használunk ki valamit még! Tudjuk, hogy egy szög sinusa és cosinusa között is fennáll valamilyen összefüggés.

sin^2 a + cos^2 a = 1

Használjuk ezt ki a feladatban! Vagyis a

cos x = 2 sin x

feladatban midkét oldalt emeljük négyzetre. Ez azomban nem igazán megengedett lépés, ugyanis a

cos a = - 2 sin a

feladatot is ,,megoldja'', vagyis hamis megoldások is bejönnek! Ez nem olyan nagy baj, mert ezeket ki lehet szűrni.

tehát, emeljük mindkét oldalt négyzetre, és utólag vizsgálódunk.

cos^2 a = 4 sin^2 a

Tudjuk, hogy cos^a = 1 - sin^a

1 - sin^2 a = 4 sin^2 a

1 = 5 sin^2 a

sin^2 a = 1/5

sin a = +- 1 / gyök 5

nevezőt gyöktelenítve

sin a = +- gyök 5 / 5

Biztosan tudjuk, hogy valami rossz itt, mert kell ,hogy legyen hamis megoldás is. Jó lett volna ezt már eleve kiszűrni Ezért egy picit másképp megismételjük a megodást. Térjünk vissza a

cos a = 2 sin a

eredeti képlethez. Látjuk, hogy sin a és cos a előjele ugyanaz. Ezért az I. és III. síknegyedbe eső mgodások fogadhatók csak el, a II. és IV. síknegyedbe esőket ki kell zárni. Ez végül is ööszhangban van azzal is, amit a legelső, tangenses megodási útnál kaptunk: ott is k pi periodicitású megoldást kpatunk (alfa = alfa0 + k pi)

Azonban ez is sok macera. Kell, hogy legyen egyszerűbb megodoldási út. Tulajdonképpen, sokat könnyítünk, ha egyszerűen csak egy egyenletrendszerenk tekintjük a feladatot. Van ismeretlenünk, s és c, és az alábbi összefüggéseket ismerjük rájuk:

s^2 + c^2 = 1

c = 2 s

Oldjuk meg az egyenletrendszert. Nyilván az egyik ismeretlent kifejezzük a másikkal. Nem nehéz, hiszen a második egyenlet eleve olvasható úgy, mint egy ilyen kifejezési szabály: ,,jelöld a 2 s értéket c-vel''. Haígy olvassuk, akkor mi lesz az első egyenletből?

s^2 + c^2 = 1

átírva úgy, hogy c = 2 s helyettesítést elvégezzük

s^2 + (2s)^2 = 1

s^2 + 4 s^2 = 1

5 s^2 = 1

s^2 = 1/5

s = +- 1 / gyök 5

Úgy tűnik, mégsem jöttek be hamis megoldások? De igen, de ezek majd a szögek visszakeresésénél jönnek elő.

Szóval, mivel s mgiscsak ,,sin alfa'' rövidítéseként lett bevezetve

sin a = +- 1 / gyök 5

Ez alapján adódik négy szög (2 pi periodicitással), ebből az I. és III. síknegyedbe eső mgodások fogadhatók csak el, a II. és IV. síknegyedbe esőket ki kell zárni.

......y.......

......^.......|

......|.......|

......|....../| tg a

......|...../.|

......|..../..|

....._|_ ./...|

......|...~ ..|

sin a |./...\.|

......|/ a...I|

------+------+--> x

....0.|cos a I| 1

..../.|...../.|

.../..|...~...|

../...|_*.....|

./....|.......|

:DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

Ez durva.