Hol tudnék utána nézni egy matek példa megoldásának?

megkérdezed itt

:)

"Egy háromszög legnagyobb szögének és hozzátartozó külsö szögének aránya 5:7. Mekkorák a háromsszög szögei, ha a legkisebb szög a legnagyobb szög 3/5 része."

A háromszög szögei legyenek rendre α, β és γ, a hozzá tartozó külső szögeket nevezzük α', β' és γ'-nek.

Tudjuk, hogy α+β+γ=180° és azt is tudjuk, hogy α+α'=β+β'=γ+γ'=180°, sőt azt is tudjuk, hogy α'=β+γ β'=α+γ γ'=α+β. Azaz: A háromszög belső szögeinek összege 180°, a belső és a hozzá tartozó külső szögének összege 180°, valamint tudjuk, hogy bármely külső szög egyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével is.

Ebből nagyon egyszerűen kiszámítható a feladat:

A feladat szerint a legnagyobb szögének és hozzátartozó külsö szögének aránya 5:7, vagyis: α>β,γ valamint α:α'=5:7 ebből következik: α'=7/5α. Használjuk az α+α'=180°, behelyettesítve α'=7/5α-t a képletbe kapunk egy egyismeretlenes egyenletet: α+7/5α=180°, rendezve az egyenletet: 12/5α=180° vagyis α=75°. Az egyik szögünk megvan.

A feladatból tudjuk továbbá, hogy: "a legkisebb szög a legnagyobb szög 3/5 része". Most számoltuk ki a legnagyobb szögünket, α=75°. A feladat szerint: γ=3/5α=3/5 * 75°=45°, megvan a második szögünk is, γ=45°. Tudva, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°, így az α+β+γ=180° képletbe beírva a két ismert szöget, a harmadik kiszámítható:

75°+β+45°=180°, ebből β=60°.

Vagyis a háromszög szögei rendre α=75°, β=60°, γ=45°.

Ellenőrzés:

Állítás: A legnagyobb szög és a hozzá tartozó külső szög aránya 5:7. A legnagyobb szög α=75°, ennek a külső szöge: α'=180°-75°=105°. Kérdés, hogy 75:105-höz arány mit ad ki, egyszerűsítés után 5:7-hez. A feltételnek eleget tettünk. //

Állítás: A legkisebb szög a legnagyobb szög 3/5 része. A legkisebb szögünk γ=45°, legnagyobb szögünk α=75°. Arányítva: 45/75 egyszerűsítése után 3/5. A feltételnek eleget tettünk. //

Ellenőrzés után feladatunk megoldása: α=75°, β=60°, γ=45° //

A megoldás szebben elérhető a [link] fájlban.

Az alsó becslés kicsit számolósabb, de kijön az is.

Legyen X az alaphalmaz, ekkor bármely A,B eseményre igaz az, hogy

P(A)P(B\A)≤P(A)P(X\A)=P(A)(1-P(A))≤1/4, hiszen B\A⊆X\A

továbbá bármely A, B eseményre az is igaz, hogy

P(B)=P(AB)+P(B\A)

Ezt beszorozva P(A)-val és kihasználva a fenti egyenlőtlenséget meg azt, hogy P(A)≤1 :

P(B)P(A)=P(AB)P(A)+P(B\A)P(A)≤P(AB)+ 1/4

Átrendezve:

-1/4 ≤ P(AB)-P(A)P(B)

Az alsó becslés kicsit számolósabb, de kijön az is.

Legyen X az alaphalmaz, ekkor bármely A,B eseményre igaz az, hogy

P(A)P(B\A) ≤ P(A)P(X\A)=P(A)(1-P(A)) ≤ 1/4, hiszen B\A ⊆ X\A

továbbá bármely A, B eseményre az is igaz, hogy

P(B) = P(AB) + P(B\A)

Ezt beszorozva P(A)-val és kihasználva a fenti egyenlőtlenséget meg azt, hogy P(A)≤1 :

P(B)P(A)=P(AB)P(A) + P(B\A)P(A) ≤ P(AB) + 1/4

Átrendezve:

-1/4 ≤ P(AB) - P(A)P(B)