Az ABC háromszögben AB=AC. Legyen D eleme BC úgy hogy BD= k*BC{0<k<1/2}. A D pontból a BC-re emelt merőleges az AB oldalt E-ben metszi. A D ponton átmenő AB-vel párhuzamos egyenes AC-t F-ben metszi. Mennyi a DEF és ABC háromszögek aránya?

Háromszögek arányáról hasonló háromszögeknél szoktunk beszélni. Ezek nem hasonlóak.

Akkor mi a kérdés? Területek aránya, vagy kerületek aránya, vagy ...?

A két háromszög sose lesz hasonló, mert az EDF szög feleakkora, mint a BAC szög. (A "sose" az túlzás, abban az esetben, ha az ABC háromszög derékszögű, akkor lehet olyan k-t találni, amikor hasonló lesz a kis háromszög a naggyal, de tetszőleges ABC-re nem.)

Talán a területek arányát kérdezi a feladat?

Tanultatok szögfüggvényeket?

Rajzold fel a háromszögeket, hogy jobban lásd, mit minek nevezek.

Nevezzük BC felezőpontját M-nek, AM a háromszög magassága, egyben szögfelezője.

Nevezzük az AB oldalt c-nek. AC=c szintén.

Nevezzük a BAC szöget 2α-nak.

Az ABC területe c²/2·sin 2α (Ezt tanultátok, ugye?)

A háromszög magassága AM = c·cos α

Az EDF szög szintén α (szárai párhuzamosak AB-vel illetve a az A-ból induló magassággal, ami szögfelező)

DEF területe 1/2·DE·DF·sin α

DEB és AMB hasonló háromszögek, oldalaik aránya k:1/2 (mert M felezi BC-t), ezért DE=2k·AM = 2k·c·cos α

FDC és ABC hasonló háromszögek, oldalaik aránya (1-k):1, ezért DF=(1-k)·AB = (1-k)·c

Vagyis DEF területe k(1-k)c²·cos α·sin α

Mivel sin 2α = 2·sin α · cos α (tanultátok, ugye?), ezért a terület:

k(1-k)c²/2·sin 2α

Vagyis a területek aránya:

T(DEF) / T(ABC) = (k(1-k)c²/2·sin 2α) / (c²/2·sin 2α)

ami k(1-k)

Tökéletes az előző válasz. Ha valaki nem értené egy rajzot is mellékelek hozzá:

[link]

Ez egy dinamikus ábra eredetileg, ( A, B, D pontok mozgathatóak ). Ezen a pillanat-felvételen is látható, hogy helyes az előző válasz!

Sajnos, a fenti linken a kép már nem érhető el, ezért az eredeti dinamikus munkalapot tettem láthatóvá:

[link]