Hogyan kell kiszámítani a háromszög területét a következő adatokból? A=13cm alfa=90°r=2cm

Az attol fugg mi az r.

Ha a beirhato kor sugara, akkor (abra rajzolas utan latszik)

c^2 + b^2 = a^2

A haromszog derekszogu. mondjuk az 5,12,13 oldalu derekszogu haromszog terulete 30, es hasonloan lapos kis haromszog, tehat valami 30 koruli egredmenyt kellene kapnunk a vegen.

T = r(a+b+c)/2 = r(a+√(b+c)^2)/2 = r(a+ √(a^2+2bc))/2 =

= r( a + √(a^2 +2m^2)/2 = r(a+ √(a^2 +2(2T/a)^2) )/2

T = r(a + √((a^2) + 8T^2/(a^2)) /2

T = 2(13 + √(169 + 8/169 * T^2)/2

T = 13 + √(169 + 8/169 * T^2)

T-13 = √(169 + 8/169 * T^2)

Itt negyzetre emelunk, tehat valoszinuleg kapunk egy extra gyokot a vegen ami nemlesz megoldas.

T^2 -26T + 169 = 169 + 8/169 T^2

161/169 T^2 -26T = 0

T( 161/169 T -26 ) = 0

Na eddig mar biztos elszamoltam valahol, de azert csak nezzuk mik lesznek a megoldasok.

T = 0 nyilvan nem jo megoldas. Ez az extra gyok amit nyertunk a negyzetre emelesnel.

A masik megoldas:

161/169 T =26

T = 27.29

Es tenyleg van benne egy hiba.

T = r(a+b+c)/2 = r(a+√(b+c)^2)/2 = r(a+ √(a^2+2bc))/2 =

= r( a + √(a^2 +2(2T))/2

T = 13 + √(169 + 4T)

T - 13 = √(169 + 4T)

Itt negyzetre emelunk, tehat valoszinuleg kapunk egy extra gyokot a vegen ami nemlesz megoldas.

T^2 - 26T + 169 = 169 + 4T

T^2 -30T = 0

T(T-30) = 0

T = 0 nyilvan nem jo megoldas. Ez az extra gyok amit nyertunk a negyzetre emelesnel.

A masik megoldas:

T=30

Na igy mar jo.

Mivel a feladat megfogalmazása nem egyértelmű, nem egyértelmű a megoldás sem.

A megadott méret lehet a

1. háromszög egyik befogója vagy

2. az átfogója.

A derékszögű háromszögben érvényes két összefüggés:

(A) c = a + b - 2r

(B) a² + b² = c²

mindkét esetben elég a megoldáshoz

1. eset

A klasszikus jelölés szerint a megadott méret a derékszögű háromszög egy befogója:

vagyis

a = 13

r = 2

A (A) egyenletbe behelyettesítve

c = 13 + b - 2*2

vagyis

c = 9 + b

Ezt a (B) egyenletbe behelyettesítve

13² + b² = (9 + b)²

A műveletek elvégzése és az összevonás után

b = 44/9

Ezzel

c = 9 + b

vagyis

c = 125/9

A háromszög oldalai

a = 13

b = 44/9

c = 125/9

Ekkor a terület

T ≈ 31, 8

=======

2. eset

A másik lehetséges állapot az, hogy a megadott méret az átfogó

vagyis

c = 13

r = 2

Az (A) egyenletből

13 = a + b - 2*2

a + b = 17

b = 17 - a

Ezt a (B) egyenletbe behelyettesítve

a² + (17 - a)² = 169

A műveletek elvégzése és rendezés után adódik az

a² - 17a + 60 = 0

másodfokú egyenlet, melynek a két gyöke

a1 = 12

a2 = 5

Mivel nem történt kikötés a befogókra, a két gyök a 2 befogót jelenti.

Vagyis

a = 12

b = 5

A háromszög oldalai

a = 12

b = 5

c = 13

Ekkor a terület

T = 30

=====

DeeDee

***********