Helyettesítéses integrálásnál hogyan kapom meg a dt/dx-et?

Ezt valószínű jobb parciálisan integrálni: Mivel az e^x nagyon könnyen integrálható, érdemes azt egy g(x) függvény deriváltjaként felírni:

f(x) = x

g'(x) = e^(-2x) --> g(x) = e^(-2x)/(-2)

∫ f·g' dx = f·g - ∫ f'·g dx

stb. (ugye ismered ezt a módszert?)

---

A helyettesítéses integrálnál egyébként az első lépés az, hogy kitalálod, hogy mit helyettesítesz be. Most a példa kedvéért mondjuk legyen az e^(2x) (lehet, hogy lenne jobb is, de nem jut eszembe, késő van már)

Szóval:

t = e^(2x)

Nem dt/dx-et kell megkapni, hanem dx/dt-t. Vagyis először ki kell fejezni x-et:

x = (ln t)/2

Aztán ezt deriválni t szerint:

dx/dt = 1/(2t)

És ebből kifejezhető dx:

dx = 1/(2t)·dt

Ezt kell beírni a dx helyébe az integrál végén. Meg persze az x helyébe is, amit kiszámoltunk:

∫ (ln t)/(2t³) dt

Persze ez most nem lett szimpatikusabb az eredetinél, de példának elment. (Ezt is parciálisan lehetne integrálni...)