Parciális integrálásnál a megoldásban az integráljel utáni részt mikor kell újra parciálisan integrálnom?

Nincs recept arra, hogy mikor mit kell csinálni, ha mázlija van az embernek, pontosabban ha kitartóan próbálkozik, csak rátalál a megoldásra.

Itt pl.

∫e^x·cos x dx

f=e^x

g'=cos x → g=sin x

∫e^x·cos x dx = e^x·sin x − ∫e^x·sin x dx

aztán

f=e^x

g'=−sin x → g=cos x

∫e^x·cos x dx = e^x·sin x + e^x·cos x − ∫e^x·cos x dx

Azért volt jó megint parciálisan integrálni, mert az egyenletet átrendezve ezt kapjuk:

2·∫e^x·cos x dx = e^x·sin x + e^x·cos x

Ebből meg már rögtön kijön a keresett integrál:

∫e^x·cos x dx = e^x·(sin x + cos x)/2