Határozzuk meg azt a természetes számot, amelyhez ha 292-t, majd ugyanehhez a számhoz 104-et adunk, akkor mindkét igy kapott szám teljes négyzet, és különbségük is teljes négyzet. Megoldható ez a feladat?

Valamit nem értek.

A két szám különbsége 292-104=188 lesz, ami eleve nem négyzetszám.

A négyzeteik különbsége kell, hogy 188 legyen ( lásd: kiegészítés).

Zárt képlettel biztos, hogy nem lehet megmondani, esetleg valami programot írhatsz rá, ha nagyon kíváncsi vagy, esetleg az egész visszavezethető valami extra bonyolult diophantikus egyenletre, de nem hiszem, hogy azzal meg lehetne oldani.

Keressünk olyan számokat, melyek négyzeteinek különbsége 188.

x^2-y^2=188

átalakítva:

(x+y)*(x-y)=188

A baloldal két egész szorzata.

Bontsuk prímtényezőkre a jobb oldalt: 188=2*2*47

Akkor (mivel x+y és x-y egyszerre páros vagy egyszerre páratlan) x+y=2*47 és x-y=2

Ezt megoldva x=48 és y= 46.

Tehát csak egyetlen olyan természetes számpár van, melyek négyzeteinek eltérése 188.

46^-104=2012, ez tehát a keresett szám.

A különbségükkel kapcsolatos feltétel nem világos, de az első résznél a keresett szán 2012, az idei évszám...

Helyesen (lemaradt a kitevő):

46^2-104=2012

A feladat csak részben oldható meg.

Ha

N - a keresett szám

akkor a feladat szerint a következő egyenletek írhatók fel:

N + 292 = x²

N + 104 = y²

(x²)² - (y²)² = z²

A első részének megoldásához elég az első két egyenlet.

Az elsőből kivonva a másodikat

188 = x² - y²

Mivel minden szám felírható két négyzetszám különbségeként, az egyenlet egyértelműen megoldható.

A jobboldal nevezetes azonosság lévén

188 = (x + y)(x - y)

A jobb oldal szorzat, a bal oldalon is ezt kell kialakítani, amihez szükségesek a 188 osztói. Ezek

1, 2, 4, 47, 94, 188

Ezeket komplementer párokba csoportosítva három eset lehetséges

188 = 188*1

188 = 94*2

188 = 47*4

Legyen

p1, p2 a két komplementer osztó.

akkor írható

p1*p2 = (x + y)(x - y)

A bal és a jobb oldal szorzótényezőit párosítva

p1 = x + y

p2 = x - y

A két egyenletet összeadva

p1 + p2 = 2x

és

x = (p1 + p2)/2

A két egyenletet kivonva egymásból

p1 - p2 = 2y

és

y = (p1 - p2)/2

Mivel természetes számot keresünk, olyan komplementer párok jöhetnek szóba, melyek összege páros.

A fenti választékból csak egy ilyen van, mégpedig

p1 = 94

p2 = 2

Ezekkel

x = (94 + 2)/2

x = 48

és

y = (94 - 2)/2

y = 46

vagyis

x² - y² = 2304 - 2116 = 188

Természetesen a másik két komplementer párral elvégezve a számítást, ugyancsak 188 lesz a különbség.

Így lehet bármely számot két négyzetszám különbségeként felírni.

Az eredeti egyenletekből a keresett szám

N + 292 = x²

N + 104 = y²

N = x² - 292 = 2304 - 292

N = 2012

illetve

N = y² - 104 = 2116 - 104

N = 2012

ami azt jelenti, hogy 2012 az a szám, amihez 292-t vagy 104-t adva négyzetszámot kapunk.

A feladat második feltétele viszont nem teljesül, mert a két négyzetszám - 2304 és 2116 - négyzetének különbsége nem négyzetszám, vagyis a megadott számok esetén a feladatnak nincs teljes megoldása.

DeeDee

**********