Honnan tudom hogy egy adott sorozatnak véges-e a határértéke vagy végtelen?

Szinte minden sorozatnál máshonnan.

Ez itt majdnem az első doksi, amit Google-val találtam, olvasd végig, próbáld megoldani, ha gyakorolni akarsz:

[link]

Szájbarágós lesz, mert nem tudom mennyit tudsz erről a témakörről!

Egy számtani sorozat attól számtani sorozat, hogy mindig ugyanazt a számot adod hozzá, mint az előzőhöz. Ez a szám pedig a differencia. Ha mondjuk a sorozatod első eleme 1 és a differenciája 0,5, akkor a sorozatod minden tagja nagyobb lesz mint az előző tag. Tehát szigorúan monoton növekvő sorozatról van szó. Ha a differencia -0,5, akkor a sorozatod minden tagja féllel kisebb lesz mint az előző. Tehát a sorozatod szigorúan monoton csökkenő. Ezekben az esetekben a határérték végtelen.

Létezik egy másik nagy csoportja a sorozatoknak, ezek az úgynevezett mértani sorozatok. Egy mértani sorozatban mindig egy szám n-1-edik hatványával szorozzuk az előző tagot. Hogy mit jelent ez? Ezt a számot kvóciensnek nevezzük. Mit jelent ez pontosan?

A sorozat első tagja legyen 2. A kvóciens is legyen 2. Hogyan határozzuk meg az első tagot, azaz az n=1 tagot. Az n itt a pozitív egész számokat jelöli, vagyis azt, hogy a sorozat hányadik tagjáról van szó.

Ha az első tag 1, a kettő hanyadik hatványával kell szorozni, hogy ez az érték ne változzon? Természetesen az n-1-esik hatványával, tehát a nulladik hatvánnyal.

Tehát az első tagja a sorozatunknak.

1*2^0 (egyszer kettő a nulladikon.) Minden szám nulladik hatványa egy, tehát megkaptuk a sorozatunk első tagját.

A második tagja 1*2^1 azaz egyszer kettő az elsőn. Tehát kettő.

A harmadik tagja 1*2^2, tehát négy. stb....

a 100-adik tagja 1*2^(n-1)=1*2^(100-1)

mit jelent mondjuk az ötödik tag.

n=5= 1*2^4 azaz 1*2*2*2*2

Látjuk, hogy ez a sorozat is a végtelenbe tart, tehát a végtelenbe konvergál (közelít.)

Felmerül a kérdés, egy mértani sorozat mikor fog véges határértékhez tartani.

Próbáljuk meg ugyanezzel az első taggal, csak a kvóciens legyen 0,25.

Első tag.

1*(0,25)^0=1

második tag

1*(0,25)^1=0,25

harmadik tag

1*(0,25)^2=0,0625

nyolcadik tag

1*(0,25)^8=0,000152

Látjuk, hogy a sorozat tagjai egyre kisebbek lesznek. Miért van ez? Ha egy egynél kisebb számot önmagával szorzunk, akkor egy még kisebb számot fogunk kapni.

Ennek a sorozatnak a 0 lesz a határértéke, mert egyre kisebb számot fogunk kapni, de a 0-át sose fogja elérni a sorozat.

A következtetés az, hogy a középiskolában tanult sorozatok közül csak a mértani sorozatoknak lehet véges határértéke, és csak akkor, ha a kvóciensük egynél kisebb.

Ha viszont esetleg sorról van szó, akkor egy kicsit másképp áll a dolog, de a lényeg ugyan ez.