Gauss módszernél honnan tudom, hogy az egyenletnek 0,1 vagy végtelen megoldása van, illetve, hogy melyiket lehet szabadon választani?

Nyilván egy inhomogén lineáris egyenletrendszerről van szó. A lényeg, hogy mi(lyen) lesz a (konstansokkal kibővített) mátrix utolsó sora a Gauss-elimináció után.

1) Tegyük fel először, hogy az utolsó sor csupa 0-t tartalmaz (együtthatók is 0-k, meg a konstans is). Ekkor ez a sor elhagyható, mert semmitmondó. Így kevesebb egyenlet van/marad, mint ismeretlen. Így a gyökök összefüggőek lesznek, célszerűen x_n-re (azaz az utolsóra) lehet felvenni a paramétert (pl. 3x3 esetben x_3=t), és ezzel a kifejezni a többi ismeretlent.

2) Most nézzük azt, mikor az együtthatók az utolsó sorban 0-k, de a konstans nem az. Ez nyilván ellentmondásra vezet, így ekkor nincs megoldás.

3) Végül ha az utolsó együttható nem 0, és a konstans valamilyen valós szám, akkor csak egy megoldás van.

Nem teljesen jó az első válasz. Nem attól lesz az utolsó változó a szabad változó, hogy az utolsó sor csupa nullává válik. Ha pl. több egyenlet (sor) van, mint változó, akkor egyáltalán nincs ilyen összefüggés.

Ugye felírod a változók együtthatóit egy mátrixba egy függőleges vonaltól balra, az egyenlőségjelek jobb oldalát meg a vonaltól jobbra egyetlen oszlopvektorként. Aztán csinálod a Gauss eliminációt.

- Ha a Gauss elimináció végén kijön egy olyan sor, amiben a függőleges vonaltól balra csupa 0 van, jobbra viszont nem 0, akkor nincs megoldás.

- Ha olyan lesz, hogy bal oldalon kijön egy egységmátrix (esetleg oszlopokat kellene cserélni, az nem baj), akkor 1 megoldás van.

- Ha az egységmátrix oszlopai "közé" vagy "mögé" kijönnek "csúnya" oszlopok is, amikben nem egyetlen egy 1-es van a nullák mellett, akkor végtelen sok megoldás van. A csúnya oszlopokhoz tartozó változók a szabad változók.

A szabad változók egyébként kijöhetnek máshogy is, attól függ, hogy hogyan csináltad az eliminációt.

Pl.:

x + 3y - 2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 2z = 6

A mátrix:

1 3 -2 | 5

3 5 6 | 7

2 4 2 | 6

Az első sor 3-szorosát kivonjuk a másodikból, 2-szeresét a harmadikból:

1 3 -2 | 5

0 -4 12 | -8

0 -2 6 | -4

A második sort osztom -4-gyel:

1 3 -2 | 5

0 1 -3 | 2

0 -2 6 | -4

A második sor 3-szorosát kivonom az elsőből, 2-szeresét hozzáadom a harmadikhoz:

1 0 7 | -1

0 1 -3 | 2

0 0 0 | 0

A harmadik oszloppal nem tudunk érdemben mit kezdeni, kész az elimináció. A harmadik sor csupa nulla, rendben van (nem voltak függetlenek az egyenletek). Van viszont "csúnya" oszlop, amiben nem egyetlen egy 1-es van a 0-ák mellett, vagyis végtelen sok megoldás van. A harmadik oszlophoz a z tartozik, tehát a z értéke szabadon választható.

Másból is lehet szabad változót csinálni. Ha pl. folytatjuk az eliminációt úgy, hogy a második sort osztjuk -3-mal:

1 0 7 | -1

0 -1/3 1 | -2/3

0 0 0 | 0

És a második sor 7-szeresét kivonjuk az elsőből:

1 7/3 0 | 11/3

0 -1/3 1 | -2/3

0 0 0 | 0

Most a második oszlop lett "csúnya", tehát az y a szabad változó.

Ha megint továbbmennénk, és az első sornak vennénk a 3/7-szeresét:

3/7 1 0 | 11/7

0 -1/3 1 | -2/3

0 0 0 | 0

Aztán az első sor harmadát hozzáadnánk a másodikhoz:

3/7 1 0 | 11/7

1/7 0 1 | -1/7

0 0 0 | 0

Most is kész vagyunk, és az x lett a szabad változó.

Persze én inkább maradnék az első befejezésnél, amikor z volt a szabad változó.

---

Ha pl. az eredeti harmadik egyenlet ez lett volna:

2x + 4y + 2z = 7 (nem pedig 6)

akkor az elimináció végén ez a mátrix jött volna ki:

1 0 7 | -1

0 1 -3 | 2

0 0 0 | 1

Itt az utolsó sor bal oldala 0, jobb oldal nem 0, vagyis nincs megoldása az egyenletrendszernek.