Mennyi a lim ( (x+3) / (x+1) ) ^ (sqrt (x) ) x-->végtelen határértéke?

(x+3)/(x+1) = 1 + 2/x

lim (1 + 2/x)^√x

x→∞

(Megjegyzés: Ha x-edik hatvány lenne, nem pedig √x-edik, akkor e² lenne.)

Alakítsuk át úgy, hogy y = e^ln(y)

lim e^(√x·ln(1+2/x))

x→∞

= e^lim √x·ln(1+2/x)

Nézzük csak a hatványkitevőt (majd a végén e-az-annyiadik hatványt csinálunk).

Az végtelenszer nulla alakú, csináljunk belőle nulla per nullát, és akkor LHospital-hatjuk:

lim √x·ln(1+2/x) = lim ln(1+2/x)/(1/√x)

Most jön a L'Hospital:

(ln(1+2/x))' = 1/(1+2/x) · (−2)/x² = −2/(x²+2x)

(1/√x)' = −1/(2√x³)

Így a limesz:

= lim 4√x³/(x²+2x)

= lim 4√x/(x+2)

= lim 4/(√x+2/√x) = 0

Ha pedig ez 0, akkor e^0=1 lesz az eredeti határérték.

Teljesen igazad van, én rontottam el...

Számold át a jóval, a végeredményben bizonyára semmi változás nem lesz.