Mik az alábbi lineáris algebrai feladatok megoldása?

Rang meghatározására a legkényelmesebb módszer a Gauss-elimináció. Ez azt jelenti, hogy a vektorrendszer elemeit beírjuk egy mátrix soraiba, és a mátrixot elemi átalakításokkal lépcsős alakúra hozzuk. Ha időközben valamelyik sor kinullázódik, azt kihúzzuk. Az eljárás végén megmaradó sorok száma adja a mátrix rangját.

5.8.

A vektorrendszer pontosan akkor független, ha a rangja maximális (azaz 3), tehát ha az eljárás végéig nem tudunk egy sort sem kinullázni.

Írjuk be a vektorokat egy mátrix soraiba:

(1 -1 2 1)

(2 -1 x+3 x)

(1 0 x+1 2x-2)

Vonjuk ki a 2. sorból az első kétszeresét, a 3. soból az elsőt.

(1 -1 2 1)

(0 1 x-1 x-2)

(0 1 x-1 2x-3)

Vonjuk ki a 3. sorból a másodikat:

(1 -1 2 1)

(0 1 x-1 x-2)

(0 0 0 x-1)

Az utolsó sort pontosan akkor tudjuk kihúzni, ha x-1=0, azaz x=1. Ekkor a vektorrendszer linárisan függő. Minden egyéb esetben a vektorrendszer lineárisan független.

5.12.

Hasonlóan, írjuk be a vektorokat egy mátrix soraiba:

(-1 3 1)

(2 -4 1)

(-3 x 12)

Adjuk hozzá a második sorhoz az első kétszeresét, vonjuk ki a harmadik sorból az első háromszorosát:

(-1 3 1)

(0 2 3)

(0 x-9 9)

Vonjuk ki a 3. sorból a második háromszorosát:

(-1 3 1)

(0 2 3)

(0 x-15 0)

A harmadik sort pontosan akkor tudjuk kihúzni, ha x=15. Ekkor a vektorrendszer rangja 2. Minden egyéb esetben a vektorrendszer rangja 3, tehát nagyobb nála. Így a válasz: x=15.

5.13.

Most a mátrix:

(1 -1 2 1)

(1 0 3 0)

(2 -1 x+4 x^2-3x+3)

(-1 4 x x-6)

A második sorból az elsőt kivonjuk, a harmadik sorból az első kétszeresét vonjuk ki, a negyedik sorhoz az elsőt hozzáadjuk.

(1 -1 2 1)

(0 1 1 -1)

(0 1 x x^2-3x+1)

(0 3 x+2 x-5)

A harmadik sorból kivonjuk a másodikat, a negyedik sorból a második háromszorosát.

(1 -1 2 1)

(0 1 1 -1)

(0 0 x-1 x^2-3x+2)

(0 0 x-1 x-2)

A negyedik sorból kivonjuk a harmadikat:

(1 -1 2 1)

(0 1 1 -1)

(0 0 x-1 x^2-3x+2)

(0 0 x^2-4x+4)

A negyedik sort pontosan akkor tudjuk kihúzni, ha x^2-4x+4=0, azaz x=2. Ekkor több sort nem tudunk kihúzni.

A harmadik sor kihúzására akkor van esély, ha x-1=0, azaz x=1. Ekkor a harmadik sor valóban (0 0 0 0) lesz. Ebben az esetben sem tudunk több sort kihúzni.

Összefoglalva: ha x=1 vagy x=2, akkor a vektorrednszer rangja 3. Minden más esetben a rang 4.