Koordináta geometria?

A kérdésedben az volt az igazi kihívás, hogy rájöjjek, mit is szeretne jelölni például a P pont - ennél azért pontosabban kéne megfogalmazni a feladatokat.

1. Határozzuk meg az ABC háromszög körülírt körének középpontját! (Ez lesz az O pont.)

2. Határozzuk meg az ABC háromszög A-hoz tartozó magasságának és B-hez tartozó súlyvonalának metszéspontját! (Ez lesz a P pont.)

1.

A körülírt kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. Tehát fel kell írni két oldalfelező merőleges egyenletét, és ezeket el kell metszeni.

Kezdjük a BC oldal felezőmerőlegesével. Ez átmegy a BC oldal felezőpontján (ezt jelöli F_a). Tudni kell, hogy az (x_1,y_1) és (x_2,y_2) végpontokkal rendelkező szakasz felezőpontja ((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2). Ezért most F_a(6,2).

A BC oldal felezőmerőlegese BC-re merőleges, ezért a BC vektor egy normálvektora. A BC vektor koordinátáit úgy számoljuk ki, hogy a végpont koordinátáiból kivonjuk a kezdőpont koordinátáit. Ez most (9-3,6-(-2))=(6,8). Ehelyett számolhatunk a (3,4) vektorral is, hiszen ugyanezt az irányt határozza meg.

Szóval ismerjük a felezőmerőleges egy pontját (6,2) és egy normálvektorát (3,4). Az egyenes normálvektoros egyenlete a következő:

ha a normálvektor koordinátái (n_1,n_2), egy pont koordinátái (x_0,y_0), akkor az egyenes egyenlete:

n_1x+n_2y=n_1x_0+n_2y_0.

Szóval most a felezőmerőleges egyenlete: 3x+4y=26.

Remélem, ennek alapján ki tudod számítani az AB oldal felezőmerőlegesének egyenletét is.

Segítségként a részeredmények: a felezőpont (1,3), az AB vektor (4,-10). Az egyenes egyenlete 2x-5y=13.

Az O pontot úgy kapjuk, hogy a két egyenes metszéspontját kiszámoljuk, tehát megoldjuk a

3x+4y=26

2x-5y=-13

egyenletrendszert.

A megoldás valóban (3.39,3.96).

2.

A háromszög A oldalhoz tartozó magasságegyenesének egyenletét úgy kapjuk, hogy az A pontból merőlegest állítunk a BC oldalra. Ennek az egyenesnek BC normálvektora lesz (mivel merőleges rá), ezt az előbb már kiszámoltuk: (3,4) egy normálvektor. Az A pont koordinátáit szintén ismerjük (-1,8). Az előző pontban leírt módon innen a normálvektoros egyenletet fel tudjuk írni. Ha jól megértetted a dolgot, azt kell kapnod, hogy 3x+4y=29.

A B csúcsból induló súlyvonalat úgy kapjuk, hogy a B pontot összekötjük az AC oldal felezőpontjával. Fent már láttuk, hogy egy szakasz felezőpontját hogyan számoljuk ki a végpontokból. Az eredmény: F_b(4,7).

Tehát a (4,7) és (3,-2) pontokra illeszkedő egyenes egyenletére van szükségünk.

Két pontra illeszkedő egyenes egyenletét úgy írjuk fel, hogy a két pont által meghatározott vektort elforgatjuk derékszöggel, hogy az egyenes egy normálvektorát megkapjuk. Most a két pont által meghatározott egyik vektor (-1,-9). Úgy forgatunk el egy vektort derékszöggel, hogy felcseréljük a koordinátákat, és az egyiket -1-szeresére változtatjuk. Szóval most az elforgatott vektor - egyenesünk normálvektora! - (9,-1).

Tehát ismerjük az egyenesünk normálvektorát (9,-1), és legalább egy pontját (például (3,-2)). Ismét felírhatjuk a normálvektoros egyenletet:

9x-y=29.

A P pont pedig az A ponthoz tartozó magasság (3x+4y=29) és a B ponthoz tartozó súlyvonal (9x-y=29) metszéspontja. A két egyenletből álló egyenletrendszert kell most megoldani, ennek a megoldása valóban (3.7,4.46).