Mekkorák a háromszög befogói és a derékszög szögfelezőjének hossza? DeeDee **********
válasza:A befogók egyszerű trigonometriával számíthatók, legyenek ezek a és b, az átfogó pedig c, ezzel:
a=c*cos(135°-φ);
b=c*sin(135°-φ);
A szögfelező hosszának számításához áttérünk az x-y Descartes féle koordinátarendszerre, az x tengely essen egybe a b oldallal, az origó pedig a derékszög csúcspontja, ekkor;
A szögfelező egyenlete: Ys=x.
Az átfogó egyenlete:
Yá=a-(a/b)*x=c*cos(135°-φ)-x*ctg(135°-φ)
A kettő egyenlőségéből a metszéspont koordinátái:
Xm=Ym=
=c*[sin(135°-φ)]*[cos(135°-φ)]/{sin(135°-φ)+cos(135°-φ)}
Ebből Phitagoras tétellel a szögfelező hossza:
(legyen ez r):
r=[sqrt(2)/2]*c*sin(270°-2φ)/[sin(135°-φ)+cos(135°-φ)]
Pl. ha a derékszögű háromszög egyenlőszárú (a=b) és φ=90° ezt ugyan a feladatkiirás nem engedi meg de vissza kell kapnunk, hogy c=1 esetén 1/2.
Erről behelyettesítéssel meg is győződhetünk, valóban annyi.
Köszi a választ, nagyon tanulságos volt számomra.
Természetesen én is nekiálltam a megoldásnak, de jókora kitérővel jutottam a végére.
Az általad leírt - a legegyszerűbb - megoldás nem ugrott be. :-)
Lehet, hogy csak a meleg volt az oka a 'sakkvakságnak'. :-)
A kócos szöveget érdemes megfésülni, sokkal szebb lesz a végén.
A (135° - φ) szinusza és koszinusza
sin(135° - φ) = (√2/2)(sinφ - cosφ)
cos(135° - φ) = (√2/2)(sinφ + cosφ)
Így a rövidebb befogó
a = (c/√2)*(sinγ - cosγ)
a hosszabbik
b = (c/√2)*(sinγ + cosγ)
Ami a szögfelező hosszát illeti.
A két oldal és a köztük levő szög ismeretében a szögfelezőt sokkal egyszerűbben is ki lehet számolni.
f = [2ab/(a + b)]*cos(γ/2)
A
γ/2 = 45°
behelyettesítése után
f = ab√2/(a + b)
Az oldalak ismeretében
a*b = (c²/2)(sin²γ - cos²γ)
a*b = -(c²/2)*cos2γ
a + b = c√2*sinγ
Ezekkel
f = - (c/2)*(cos2γ/sinγ)
DeeDee
**********
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!