Egy mértani és egy számtani sorozat első tagja 2. A mértani sorozat 3. , illetve 5. tagja a számtani sorozat 2. , illetve 11. tagjával egyenlő. Mekkora a mértani sorozat 2004. tagja?

Számtani sorozat tagjai: 2; 2+d; 2+2d; ...; 2+10d; ...; 2+(n-1)*d

Mértani sorozat tagjai: 2; 2*q; 2*q^2; ...; 2*q^4; ...; 2*q^(n-1)

A feladat szerint:

2*q^2=2+d

2*q^4=2+10d

Ezzel kaptunk egy kétismeretlenes egyenletrendszert, amit meg kell oldanunk. Érdemesebb így eljárni: szorozzuk az első egyenletet 10-zel:

10*2*q^2=20+10d

2*q^4=2+10d

Most a második egyenletből vonjuk ki az elsőt:

2*q^4-20*q^2=-18 /+18

2*q^4-20*q^2+18=0

Ez másodfokű egyenletre visszavezethető, legyen q^2=x, ekkor

2x^2-20x+18=0 egyenlethez jutunk. Megoldóképletből

x1=9 és x2=1

Ezekből megkapjuk a mértani sorozat quotiensét:

Mivel q^2=x, ezért q1=-3, q2=3; q3=-1; q4=1, ezekből

2*(-3)^4=2+10(d1), tehát d1=16

2*3^4=2+10(d2), tehát d2=16

2*(-1)^4=2+10(d3), tehát d3=0

2*1^4=2+10(d4), tehát d(4)=0, ezekkel ellenőrizhető, hogy a megadott tagok egyenlőek-e.

Ezekből már kiszámolható a sorozat 2014. tagjának értéke. Tudjuk, hogy (a2004)=(a1)*q^2003, így 4 különböző tagot fogunk kapni:

2*(-3)^2003; 2*3^2003; 2*(-1)^2003=-2; 2*1^2003=2.