Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Milyen p prímekre lesz ( (2^...

Milyen p prímekre lesz ( (2^ (p-1) ) -1) /p négyzetszám?

Figyelt kérdés
Matematika beadandó házifeladat, a megoldások a 3 és a 7, de nem tudom levezetni. Ha valaki segít azt nagyon megköszönöm!!

2014. márc. 23. 20:20
 1/1 bongolo ***** válasza:

Ha p=2, akkor a kifejezés értéke 1/2, nem egész. Feltehetjük tehát, hogy p páratlan.

p = 2k+1

A számláló:

2^(2k) - 1 = (2^k - 1)(2^k + 1)

Ez két egymástól 2 távolságra lévő szám, csak 2 lehet a közös osztójuk. Viszont páratlanok, tehát nincs közös osztójuk.

A szorzat csak úgy lehet p·n², ha az egyik r², a másik pedig p·s²

a)

2^k - 1 = r² valamint 2^k + 1 = p·s²

r páratlan: r = 2t+1

r² = 4t² + 4t + 1 = 4u + 1

2^k - 1 = 4u + 1

2^k = 4u + 2 = 2(2u+1)

Ez csak akkor teljesülhet, ha u=0, k=1, r=1

Ekkor 2^k+1 = 3 = p·s² teljesül, vagyis az egyik megoldás a p=3.


b)

2^k + 1 = r² valamint 2^k - 1 = p·s²

2^k = r² - 1 = (r-1)(r+1)

r-1 és r+1-nek is kettő hatványnak kell lennie. Könnyen belátható, hogy ez csak 2·4 estén áll fenn.

(pl. úgy, hogy 2^u+2 = 2·(2^(u-1) + 1) = 2^v → 2^(u-1) + 1 osztható 2-vel → u=1)

Tehát r² = 9, p·s² = 7, ami p=7 esetén teljesül.


Több megoldás nincs.

2014. márc. 23. 23:41
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!