Az x^2=16y parabolához érintőt húzunk, amely merőleges az y=-1/2x egyenesre. Írjuk fel az érintő egyenletét. Melyik a legegyszerűbb megoldás?

"Melyik a legegyszerűbb megoldás?"

Nekem ez:

[link]

Ha az y=(-1/2)x egyenesre merőleges, akkor azt fel tudjuk írni a tanultak alapján; rendezzük át az egyenletet egy ismertebb alakra:

(1/2)x+y=0 /*2

x+2y=0, tehát ennek az egyenesnek a normálvektora (1;2). Ennek az irányvektora lesz a merőleges egyenes normálvektora, vagyis a (2;-1) vektor. Tehát a keresett egyenes 2x-y=c alakú. Az a kérdés, hogy ennek az egyenesnek és a parabolának mikor lesz pontosan 1 metszéspontja (abban az esetben van esélyünk arra, hogy az egyenes érintő legyen), tehát az

I. x^2=16y}

II.2x-y=c}

Parametrikus egyenletrendszert kell megoldanunk. I.-ből y=x^2/16, ezt beírjuk II.-ba:

2x-x^2/16=c /*(-16), csak hogy a főegyüttható pozitív legyen

x^2-32x=-16c /+16c

x^2-32x+16c=0

Mivel ha az egyenletrendszert csak 1 (x;y) páros teheti igazzá (2 esetén 2 metszéspont lenne, ami nem lehetne érintő), ezért az egyenlet diszkriminánsának 0-nak kell lennie:

(-32)^2-4*1*16c=0 /összevonás

1024-64c=0 /+64c

1024=64c /:64

16=c, tehát az egyenletrendszernek c=16 esetén lesz pontosan 1 megoldása. Írjuk is be az előbbi másodfokú egyenletbe:

x^2-32x+16*16=0

x^2-32x+256=0

(x-16)^2=0, innen x=16. I. be visszaírva

16^2=16y, innen 16=y, tehát az érintő egyenes a (16;16) ponton fog áthaladni. Így az egyenes egyenlete 2x-y=2*16-16=16, aminek ki is kellett jönnie, mivel c=16 volt.

Tehát az egyenes egyenlete: 2x-y=16.

Megjegyzés: ez a gondolatmenet csak másodfokú kifejezés esetén lesz így; nagyobb fok esetén több metszéspont lehet, mint 1, vagyis csak az érintési pontban, ennél a függvény milyensége miatt lehet ez.