Egy háromszög oldalainak hossza 13,14,15 egység. Mekkora annak a körnek a sugara amelynek a középpontja a háromszög leghosszabb oldalán van és a kör érinti a másik 2 oldalát a háromszögnek?

Ilyen udvarias kérésre:

[link]

Ha a koszinusz-tétel is gond:

https://www.youtube.com/watch?v=tLtByppCt7c

#1 vagyok.

Elnézést!

A második egyenletet az AKC háromszögből kell felírni!

Gondolkodjunk kicsit másképp. :-)

Legyen

a = 13 cm

b = 14 cm

c = 15 cm

rc = ?

Ha a 'c' oldalra tükrözöd a háromszöget, akkor egy érintő négyszöget kapsz, melynek beírt a köre a keresett körünk.

A beírható körrel rendelkező idomok területét az idom félkerületének és a beírható kör sugarának szorzata adja.

Ha az eredeti háromszög területe T, akkor a tükrözéssel keletkezett idomé 2T.

Az idom kerülete a tükrözés miatt

K = 2(a + b)

így a félkerület

s = a + b

ezért a négyszög területe

2T = r(a + b)

ebből a keresett sugár

r = 2T/(a + b)

****************

Hiányzik még az eredeti háromszög területe.

Nem tudom, milyen eszközökkel rendelkezik a kérdező, de ha a háromszög minden oldala ismert, akkor a legegyszerűbb a Heron képletet használni.

A példa adataival ez egy szép kerek érték, éspedig

T = 84 cm²

így a sugár

r = 2*84/(13 + 14) = 168/27

Egyszerűsítés után (a számláló és nevező is osztható 3-mal):

r = 56/9 cm

ill.

r = 6,222...cm (végtelen tizedes tört)

=========

ami megegyezik az előző válaszoló megoldásával.

Megjegyzés:

A fenti összefüggéssel minden oldalhoz tartozó sugarat egyserűen meg lehet határozni, mivel a terület ugyanaz, csak a megfelelő oldalak összegével kell számolni.

Az eredeti háromszög beírt körének sugara egyébként 4 cm. :-)

DeeDee

**********

#1 vagyok.

Itt a javított változat:

[link]