Van két dobókockánk, amelyek külsőre egyformák. Az egyik szabályos, a másikkal 2/3 valószínűséggel lehet hatost dobni. Az egyik kockával dobunk, és hatos az eredmény. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a szabályos kocka?

Kicsit hosszan válaszolok.

Azoknál a feladatoknal, amik így kezdődnek, kétféle kérdés szokott lenni. Odafelé kérdezik a valószínűséget, vagy visszafelé. (Most az utóbbi van.)

Odafelé:

- Ha dobunk valamelyik véletlenszerűen választott kockával, mennyi lesz a 6-os dobás valószínűsége?

Visszafelé:

- Ha 6-ost dobtunk, mennyi a valószínűsége, hogy az egyik kockával dobtunk?

Odafelé kérdés megoldása:

Ez a teljes valószínűség tétele nevezetű dolog:

P(A) = P(A|B₁)·P(B₁) + P(A|B₂)·P(B₂) + ...

ahol az A esemény az, hogy 6-ost dobtunk, a B₁ meg B₂ pedig az, hogy az egyik vagy a másik kockával dobtuk.

P(A|B₁) a 6-os dobás valószínűsége, ha a szabályos kockával dobtunk. Ez 1/6.

P(A|B₂) a 6-os dobás valószínűsége, ha a cinkelt kockával dobtunk. Ez 2/3.

P(B₁) = P(B₂) = 1/2, mert azonos valószínűséggel dobunk valamelyikkel.

P(A) = 1/6 · 1/2 + 2/3 · 1/2 = 5/12

Visszafelé kérdés megoldása:

Ez a Bayes télel nevezetű dolog:

P(B|A) = P(A|B)·P(B) / P(A)

Azért neveztem "visszafelé" kérdésnek, mert most ismerjük P(A|B)-t, de P(B|A) a kérdés.

Itt a B esemény a B₁, B₂ stb események közül valamelyik.

A nevezőben a P(A) pedig ugyanaz mint az előbb, vagyis a teljes valószínűség.

Most:

A: 6-ost dobtunk

B: a szabályos kockával dobtuk (vagyis B=B₁ volt az előbb)

P(B|A): annak a valószínűsége, hogy a szabályos kockával dobtunk, feltéve, hogy 6-ost dobtunk. Ez a kérdés.

P(A|B) = 1/6 (ezt már az előbb kiszámoltuk, B=B₁)

P(B) = 1/2

P(A) = 5/12 (ezt is kiszámoltuk az előbb)

Már csak be kell helyettesíteni ezeket a fenti képletbe.