Egy mértani sorozatban az első elem 3, az első n elem összege 93, az első n elem reciprokának összege 31/48. Mik a sorozat elemei?

S(n) = a(1) *((q^n)-1))/(q-1) (q!=1)

1.: 93 = 3*((q^n)-1)/(q-1)

31 = ((q^n)-1)/(q-1)

31q-30 = q^n

31 - 30/q = q^(n-1)

2.: 31/48 = 1/3* (((1/q)^n)-1)/((1/q)-1)

31 = 16 * (((1/q)^n)-1)/((1/q)-1)

31/q - 15 = 16/(q^n)

31*q^(n-1) - 15*q^n = 16 (=2^4)

q^(n-1)*(31-15q) = 2^4

Az 1-ből behelyettesítve:

(31-30/q)*(31-15q) = 2^4

Ebből másodfokú egyenlet jön ki, amit megoldva alighanem a két gyök a két sorozat kvóciensét adja ki.

De ha elkezdünk gondolkodni, hogy a jobb oldalon kettő hatványa szerepel, a bal oldalon két szám szorzata, akkor a bal oldali kifejezés tényezőinek is kettő valamilyen hatványának kell lenniük, így:

31-15q = 2^x, ez q = 1 esetén 16, q = 2 esetén 1. A másik ennek fordítottja,

tehát a feladat megoldása q = 2, mivel az egyet kizártuk az elején (q!=1 --- q nem egyenlő 1)

A sorozat elemei: 3, 6, 12, 24, 48 ...

Visszahelyettesítve pl. ebbe:

31q -30 = q^n

31*2 -30 = 2^n

32 = 2^n

n = 5

Ellenőrzést rád bízom :)