Sinx+cosx=1 ->ebből következőleg, jól írtam így fel az alábbi egyenletet? Sin (1+x) négyzet gyök alatt+ cos (1+x) négyzetgyök alatt = 1

Nem arra gondolsz, hogy sin²x + cos²x = 1 ??

Lehagytad a négyzetet...

És akkor sin²(1+x) + cos²(1+x) = 1

Ez minden x-re igaz. Ha a négyzetgyököt lehagyod, az csak kevés x-re igaz.

Inkább írd le normálisan a feladatot, mert ebből nem derül ki egyértelműen, hogy mégis mit szeretnél...

Például így:

sin(gyök(1+x))+cos(gyök(1+x))=1

Én ezt szűrtem le az irományodból...

Hozz be egy új változót:

v = √(1+x)

és akkor elsőre ez lesz:

sin v + cos v = 1

Érdemes a koszinuszból szinuszt csinálni: cos v = √(1-sin²v)

Bele kell abba is gondolni most, hogy így csak a pozitív cos v értékeket nézzük, de biztos, hogy sin v és cos v is pozitív kell legyen, mert ha az egyik is negatív lenne, akkor az összegük már nem lehet 1 (hisz a másik nem lesz 1-nél nagyobb.)

sin v + √(1-sin²v) = 1

√(1 - sin²v) = 1 - sin v

Négyzetre emelhetünk.

1 - sin²v = (1 - sin v)²

1 - sin²v = 1 - 2sin v + sin²v

0 = 2sin²v - 2sin v

sin²v = sin v

Ennek egyik megoldása az, hogy sin v = 0, azt majd nézzük később. Ha nem nulla, akkor szabad osztani a szinusszal:

sin v = 1

Tehát ez a két megoldás van:

a) sin v = 0, cos v = 1

v = 2kπ

b) sin v = 1, cos v = 0

v = π/2 + 2kπ

Persze k∈ℤ

Végül az x-et kell kifejezni:

a) v = 2kπ

√(1+x) = 2kπ

1 + x = 4k²π²

x = 4k²π² - 1

b) v = π/2 + 2kπ

√(1+x) = π/2 + 2kπ

... stb.

Felesleges ennyire túlcifrázni; emeljünk négyzetre;

sin^2(v)+2*sin(v)*cos(v)+cos^2(v)=1

A bal oldalon 2 tag összege 1, így

1+2*sin(v)*cos(v)=1, innen

2*sin(v)*cos(v)=0

Tehát vagy v=0+k*pí, vagy v=pí/2+k*pí.

A többi innen már megy.