El tudnátok magyarázni, mit kell ebben a matek feladatban csinálni?

Az első képen HF és FP szakaszok derékszöget zárnak be, tehát az FPH háromszög derékszögű, aminek a képlete befogók szorzata/2. Az FP szakasz hossza 5/2=2,5cm (mivel a p pont élfelező pont), a HF szakasz pedid 5*gyök(2) hosszú, mivel ez a szakasz az EFGH 5cm oldalú négyzet átlója, és ennek tudjuk, hogy az átlója 5*gyök(2)cm (vagy pedig Pitagorasz-tétellel kiszámoljuk). Tehát a területe 2,5*5*gyök(2)/2=3,125*gyök(2)=~4,42cm^2 (négyzetcentiméter).

Általánosságban elmondható, hogy a háromszög területe oldal*oldalhoz tartozó magasság/2, viszont ennél az ábránál csak az oldalakat tudjuk kiszámolni (első körben). Egyértelműen látszik, hogy a KP szakasz hossza 5cm. A másik két oldal kiszámítása ennél egy kicsit bonyolultabb;

Kezdjük a KH oldallal; látható, hogy a K;E;H pontok egy derékszögű háromszöget alkotnak, ahol KH az átfogó. A KE szakasz hossza 5/2=2,5cm (a K élfelező pont), ez EH szakasz 5 cm, tehát Pitagorasz-tétele alapján:

2,5^2+5^2=|KH|^2

31,25=|KH|^2

gyök(31,25)=|KH|, ezt ilyen formában hagyjuk.

Most jöhet a PH szakasz hossza; A P;H;F pontok szintén deékszögű háromszöget alkotnak, ahol PH szakasz az átfogó. Itt is a befogókat tudjuk kiszámolni; a PF befogó 2,5cm, az FH befogó (akárcsak az első feladatnál) 5*gyök(2)cm. Ismét felírható Pitagorasz tétele:

2,5^2+(5*gyök(2))^2=|HP|^2

6,25+50=|HP|^2

56,25=|HP|^2

gyök(56,25)=|HP|, ezt is így hagyjuk.

Húzzuk be a KP oldalhoz tartozó magasságot (m). Ez a magasság egyrészt merőleges erre a szakaszra, másrészt két részre bontja, ezzel a háromszöget két derékszögű háromszögre bontja. Legyen KP szakasz "bal oldali része" x, ekkor a másik része 5-x hosszú. Erre a két dderékszögű háromszögre írjuk fel a Pitagorasz-tételt:

I. x^2+m^2=gyök(31,25)^2

II. (5-x)^2+m^2=gyök(56,25)^2, ezeket még tudjuk szépíteni:

I. x^2+m^2=31,25

II. 25-10x+x^2+m^2=56,25

A II. egyenletből kivonhatjuk az I. egyenletet, így ezt kapjuk:

25-10x=5

-10x=-20

x=2, tehát a magasság a KP oldalt 2 és 3cm-es részekre bontja. Ennek tudatában valamelyik derékszögű háromszögre újra felírva a Pitagorasz-tételt:

2^2+m^2=gyök(31,25)^2

4+m^2=31,25

m^2=27,25

m=gyök(27,25)cm, így a HPK háromszög területe: 5*gyök(27,25)/2=~13,05cm^2

A másik kettőt ezek alapján meg tudod csinálni, a lényeg, hogy derékszögű háromszögeket kell keresni. Még annyi segítséget adnék a d)-hez, hogy az OF szakaszt is ki kell majd számolnod a megoldáshoz.

A feladatban "... a megjelölt háromszögekre illeszkedő síkok..." által kimetszett alakzatokról van szó, nem a kiemelt háromszögek területéről! . A megjelölt háromszögek a kérdéses síkoknak csak egy részét jelentik, a teljes sík folytatódik a kocka széléig és még tovább.

Az a.) feladat megoldását jelentő téglalap - FHDB - oldalai a kocka éle és a lapátló.

A terület kiszámítása nem lehet gond.

A b), c) és d) feladat megoldása ugyanaz.

A b) és c) esetén a KPGH téglalap, a d) esetén pedig a BFQQ' téglalap. (A Q' pont a DC él felező pontja)