Egy szabályos négyoldalú gúla alapélének hossza 10 az alaphoz tartozó testmagasság 8. A gúla ezen testmagasság felezőpontján átmenő az alaplappal párhuzamos síkkal osszuk két részre. Mekkora a két rész felszíne és térfogata?

Ha a testmagasság felénél levágjuk a felső részt, akkor annak a térfogata 1/8-a lesz az eredetinek.

Minden testre igaz, hogyha a hasonlóság aránya k, akkor a térfogatok aránya k^3.

Vagyis a 1/8 * V0 és 7/8*V0 a két térfogat.

Vo ugye alapterület*magasság/3

V0 = 10*10*8/3

A felszín esetében négyzetes arányosság van.

Az eredeti felszín negyede lesz a felső rész felszíne (ha az újonnan keletkező alaplapot is beleszámoljuk.)

Az alsó rész nem hasonlít az eredetihez, és itt nem igaz, hogy a két felszín összege kiadja az eredetit, mert van 2 új lap.

A felső rész felszíne:

1/4*A0

Az eredeti felszín A0.

A felső rész ebből elvesz 1/4A0-5^2 (Az elsó négyzetet kivontam.)

Ezért az alsónak marad:

A0- (1/4A0-5^2) + 5^2 (kap egy új négyzetet a tetejére.)

A0-t kell kiszámolni. alapterület + 4*oldallapok területe.

Ehhez kéne az oldallap magassága, ami nincs meg.

Vágjuk félbe a gúlát.

Így van egy egyenlőszárú háromszögünk

a = 10, ma=8 (testmagasság) b=?

a b szára a háromszögnek éppen az oldallapok magassága.

Pithagorasz-tétellel:

b^2 = 10^2+8^2

És A0 = 10^2 + 4*10*b/2