Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Egy háromszög két oldalhossza...

Egy háromszög két oldalhossza 6 és 7, a szemközti szögek aránya 1:2. Mekkorák a szögek és a harmadik oldala?

Figyelt kérdés

2014. dec. 1. 02:00
 1/1 anonim ***** válasza:

Első körben rajzoljuk meg az ábrát; tudjuk, hogy nagyobb oldallal szemközt nagyobb szög van, ezért a 6-ossal szemben legyen Ł, ekkor a 7-essel szemben 2Ł lesz. Erre már fel tudjuk írni a szinusztételt:


sin(2Ł)/sin(Ł)=7/6


Az addíciós képletekből tudjuk, hogy sin(2Ł)=2*sin(Ł)*cos(Ł):


2*sin(Ł)*cos(Ł)=7/6


sin(Ł)-val egyszerűsítünk, majd osztunk 2-vel:


cos(Ł)=7/12, ezt számológéppel kiszámolva Ł=~54,31°, a másik szög 2*l=~108,62°. Mivel tetszőleges háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért a harmadik szög :180°-54,31°-108,62°=17,07°.


Mivel 2 oldal és mindhárom szög ismert, ezért az ismeretlen oldal hosszát akár a szinusz-, akár a koszinusztétellel is ki tudjuk számolni. Mivel pontosan tudjuk, hogy cos(~54,31°)=7/12, ezért ajánlom, hogy a koszinusztételt használjuk. Mivel ez a szög a 6-ossal van szemben, ezért a képletbeli c értéke 6 lesz, ebből a többi már könnyen kitalálható az ismeretlen oldal b):


6^2=7^2+b^2-2*7*b*cos(54,31°)


36=49+b^2-14*(7/12)*b


36=b^2-(49/6)*b+49 /redukáljuk a bal oldalt 0-ra


0=b^2-(49/6)*b+13 /érdemes 6-tal szorozni, hogy az együtthatók egészek legyenek)


0=6b^2-49b+78


Megoldóképlettel megoldjuk; b1=6, b2=13/6.


Az elején felhasználtuk azt a tételt, hogy nagyobb oldallal szemközt nagyobb szög van, viszont ennek a fordítottja is igaz; nagyobb szöggel szemközt nagyobb oldal van, tehát mivel 54,31°>17,07°, ezért 6>6, de ez nem igaz, tehát b1=6 megoldás a mi szempontunkból hamis gyök. Így b2=13/6 lesz a megoldás (mivel ez minden feltételnek megfelel), vagyis a harmadik oldal hossza 13/6 cm.

2014. dec. 1. 02:45
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!