Sík és egyenes metszéspontja levezetés?

Először megvizsgálod azt, hogy lehet-e egyáltalán közös pontja a síknak és az egyenesnek. Ugye sík egyenletének megadásához szükséges a sík egy normál vektora és a sík egy pontja. Itt egy sík egyenlete pl 3x-4y-6z=12 mondjuk hasra ütésre. Ezen sík normál vektorai lesz a n= (3;-4;-6). Ugye egyenest meg lehet adni paraméteresen és paramétermentesen.

Paraméteresre példa:

x=3t-4

y=-4

z=3t+2

Ebből ki tudod olvasni az egyenes irányvektorát.

I=(3;0;3) és ugye n=(3;-4;-6)

Ugye a sík és egyenes párhuzamos (ergo nincs metszéspontja,vagy eleme a síknak és végtelen van neki) ha a sík normálvektora és az egyenes irányvektora merőleges egymásra, tehát a skaláris szorzatuk 0. 3.3+0+(-6).3=-9 --> nem nulla van metszéspont egy darab.

hozzuk vissza a sík és egyenes egyenletét:

egyenes:

x=3t-4

y=-4

z=3t+2

sík:

3x-4y-6z=12

fogod és behelyettesíted a síkba az egyenes koordinátáit

3(3t-4)-4(-4)-6(3t+2)=12

rendezed t-re (ugye t a paraméter)

9t-12-16-18t-12=12

-9t=52

t=-52/9, ugye nem írod fel kerekítve mert az már nem ugyanaz az egyenlet meg metszéspont így hagyod

a t-t visszahelyettesíted az egyenes egyenletébe és megkapod a metszéspontot.

Ha netán kijönne hogy párhuzamosak, tehát a skaláris szorzatuk nulla ugye akkor lehet egybevágó és párhuzamos. Ugyanígy csinálod, ha kapsz értelmes t paramétert, akkor van közös pont, ha nem akkor nincs.