Egy kocka egyik csúcsa a testátlótól 4 cm-re van. Mekkora a kocka éle?

A testátló a felezési pont és a csúcs távolságának kétszerese.

Pitagorasz-tétel:

él^2 + lapátló^2 = testátló^2

(x^2)+(x^2+x^2)=(8^2)

3(x^2)=64

x^2=21,333333

x=4,618802

> „A testátló a felezési pont és a csúcs távolságának kétszerese.”

Ezt nem vágom. Milyen felezési pont?

Szerintem a megoldás:

Vegyük a testátló egyik végpontjával szomszédos 3 csúcs által meghatározott szabályos háromszöget. A testátló ennek súlypontján halad át a síkjára merőlegesen. A súlypont az súlyvonalat 1:2 arányban osztja, és a hosszabbik szakasza 4 cm-es, hiszen 4 cm-re van a testátlótól, azaz a súlyvonal metszéspontjától a csúcs, így az egész 3/2*(4 cm) = 6 cm hosszú. Mivel szabályos háromszög, ez egyben a magassága is, tehát a 6 cm = gyök(3)/2*y, ahol y a háromszög oldala, így y = 2*6/gyök(3) cm = 12/gyök(3) cm. A szabályos háromszög oldala pedig nem más, mint egy lapátló (lásd hogyan csináltuk a háromszöget), tehát a kocka éle y/gyök(2) = 12/gyök(3)/gyök(2) cm = 12/gyök(6) cm = 2*gyök(6) cm ≈ 4,90 cm.

Másik megoldás kapható, ami tényleg csak hasonlóságokat és Piti-tételt használ, ha nem a testátlóra merőleges, hanem azt tartalmazó síkmetszetét nézzük a kockának. Ez talán közvetlenebb is valamivel… Szóval messük el a kockát a két szemközti, párhuzamos lapátlóját tartalmazó síkkal:

[link]

Remélem ez alapján az ábra alapján megy, ehhez egy fokkal kevesebb térlátás kell, mint az előző megoldásomhoz.

Szerintem egy ábra sem árt a megoldáshoz:

[link]

És akkor egy ábra a 18:39-es megoldásomhoz is:

[link]

A zöld vonalak mind lapátlók, tehát egyforma hosszúak, és mivel 3 végpontjuk van összesen, ezért egy síkban is vannak, így szabályos háromszöget alkotnak. A kék vonal a testátló, a piros vonal a zöld háromszög súlyvonala, melynek a felső kétharmadáról tudjuk, hogy 4 cm hosszú. A testátló a kocka szimmetriái miatt pedig pont a zöld háromszög középpontján megy át.

És akkor még egy megoldás (bár ábrát megint lusta voltam rajzolni, de most volt kifogásom):

Egy másik kérdésnél egy általános téglalap egy csúcsának testátlójától vett távolságát kellett kiszámolni:

http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__alkalmazott-tudoma..

Erre m = z*gyök(x^2 + y^2)/gyök(x^2 + y^2 + z^2). (m a távolság, x, y, z a téglatest egy csúcsba futó élei).

Most adott, hogy m = 4 cm, és mivel kockáról van szó x = y = z, tehát y és z helyére x-et írhatunk.

m = x*gyök(2*x^2)/gyök(3*x^2) = x*gyök(2/3).

Ebből x = gyök(3/2)*m = gyök(3/2)*(4 cm) ≈ 4,90 cm.