Egy osztályban a tanév során három kirándulást szerveztek. Az első kiránduláson az osztály 70%-a a 2.80% a 3. az osztály 90% vett rész.12 tanuló mindhárom kiránduláson ott volt, a többiek pedig kétszer kiránultak. Hányan járnak az osztályba?

I. G o n d o l k o d v a :

1.) Olyan létszám kell, aminek a 70%-a (70-százada, vagyis 0,7-szerese), a 80%-a (80-százada, vagyis 0,8-szerese) és a 90%-a (90-százada, vagyis 0,9-szerese) is egész szám; hiszen (egész) személyekről van szó.

A legkisebb ilyen szám a 10., további ilyen számok a 10 többszörösei.

2.) 12 fő minden kiránduláson részt vesz, tehát 10-től nagyobb az osztály létszáma.

A többiek 2-2 kiránduláson vesznek részt, tehát a 3 kiránduláson, a 12 fő feletti létszám 2-szerese vesz részt.

10-től nagyobb a létszám; nézzük a 20 főt.

Ez azt jelenti, hogy 8-cal vannak többen, mint 12 fő.

20-nak a 70%-a 14 fő. A 12-n túl 2-en vettek részt.

20-nak a 80%-a 16 fő. A 12-n túl 4-en vettek részt.

20-nak a 90%-a 18 fő. A 12-n túl 6-an vettek részt.

A 3 kiránduláson a 12-n túl részt vettek száma 2+4+6=12; ez nem 2-szerese 8-nak.

20-tól nagyobb a létszám a 30 fő.

Ez azt jelenti, hogy 18-cal vannak többen, mint 12 fő.

30-nak a 70%-a 21 fő. A 12-n túl 9-en vettek részt.

30-nak a 80%-a 24 fő. A 12-n túl 12-en vettek részt.

30-nak a 90%-a 27 fő. A 12-n túl 15-en vettek részt.

A 3 kiránduláson a 12-n túl részt vettek száma 9+12+15=36; ez 2-szerese 18-nak.

II. E g y e n l e t r e n d s z e r r e l :

L = létszám

x = a 12 főn felüli tanulók száma

x = L – 12

2*x = (0,7*L - 12) + (0,8*L - 12) + (0,9*L – 12)

x-et behelyettesítve a 2. egyenletbe:

2*(L – 12) = (0,7*L - 12) + (0,8*L - 12) + (0,9*L – 12)

Zárójeleket felbontva:

2*L – 2*12 = 0,7*L - 12 + 0,8*L - 12 + 0,9*L – 12

Jobb oldalon vonjuk össze az L-eket tartalmazó szorzatokat:

2*L – 2*12 = (0,7 + 0,8 + 0,9)*L -12 -12 -12

Jobb oldalon végezzük el az összevonásokat:

2*L – 2*12 = 2,4*L – 36

Bal oldalon számítsuk ki a szorzatot:

2*L – 24 = 2,4*L -36

Az egyenlőség megmarad, ha mindkét oldalról elveszünk 2,4*L-t:

2*L – 24 – 2,4*L = -36

Az egyenlőség megmarad, ha mindkét oldalhoz 24-et adunk:

2*L – 2,4*L = -12

Bal oldalon végezzük el az összevonást:

(2 – 2,4)*L = -12

-0,4*L = -12

Az egyenlőség megmarad, ha mindkét oldalt -1-gyel szorozzuk:

0,4*L = 12

Az egyenlőség megmarad, ha mindkét oldalt osztjuk 0,4-del:

L = 12 / 0,4

L = 30

Az osztály létszáma [L]: 30 fő.