Egy szabályos oldalú háromszög területe 3 gyök 3. Mennyi az oldalának a hossza?

Ha a szinuszról még nem tanultál:

Rajzolj fel egy szabályos háromszöget, és rajzold be az egyik magasságát is.

Háromszög területe: T = a * ma / 2

Ahol "a" az egyik oldal, és "ma" az "a" oldalhoz tartozó magasság.

Vizsgáljuk meg azt a két háromszöget, amire a berajzolt bontja a háromszögünket.

Ez a két háromszög derékszögű, és egybevágó. De most a derékszögű a legérdekesebb tulajdonsága.

Továbbá azt kell még észrevenni, hogy az átfogója az "a" oldal, az egyik befogója az "ma", azaz a magasság. És mi a másik befogója?

Ehhez azt kell észrevenni, hogy a magasság felezi az adott oldalt (ez csak szabályos háromszögek esetén igaz mindegyik oldalra!).

Tehát:

- átfogó: a

- befogó1: ma

- befogó2: a/2

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt:

(a/2)^2 + ma^2 = a^2 (^2: négyzetre emelés)

(a^2)/4 + ma^2 = a^2

ma^2 = 3/4 * a^2

ma = gyök(3)/2 * a

Vegyük elő a terület-képletet:

T = a * ma / 2

Helyettesítsünk be:

T = a * gyök(3)/2 * a / 2 = gyök(3) / 4 * a^2 = 3 * gyök(3)

a^2 / 4 = 3

a^2 = 12

a = gyök(12)