Ezt a matekpéldát hogyan kell megoldani?

Rajzoljuk fel a KLMN trapézt.

(Kövesd az ábrán a továbbiakat!)

Ekkor KLM egyenlő szárú háromszög, szárai KM=KL=p,alapja q.

KMN is egyenlő szárú háromszög, szárai KN=NM=q, alapja KM=p.

Továbbá az LKM szög és a KMN szög egyenlőek, mert váltószögek. Nevezzük ezt 2*fi-nek.

KMN egyenlő szárúsága miatt NKM szög is 2*fi.

Most a KLM háromszöget felezzük meg a K-ból indul magasságával, ekkor: sin(fi)=(q/2)/p.

A KMN háromszöget is felezzük meg az N-ből induló magasságával, ekkor cos(2fi)=(p/2)/q.

Ha az utóbbi két egyenletet összeszorozzuk:

sin(fi)*cos(2fi)=1/4

Ez egy ismert trükköt tartalmazó egyenlet:

4*sin(fi)*cos(2fi)=1

a lényeg, hogy érdemes beszorozni cos(fi)-vel, majd kétszer is alkalmazzuk a kétszeres szögre vonatkozó addíciós képletet:

4*sin(fi)*cos(fi)*cos(2fi)=cos(fi)

2*sin(2fi)*cos(2fi)=cos(fi)

sin(4fi)=cos(fi)

most a pótszöges váltással:

sin(4fi)=sin(90°-fi)

ebből 4fi=90°-fi+k*360°, vagy 4fi+90°-fi= 180°+k*360°

tovább:

5fi=90°+k*360°, vagy 3fi=90°+k*360°

fi=18°+k*72°, vagy fi=30°+k*120°

értelemszerűen csak a 18° vagy 30° jöhet szóba, azaz a K csúcsnál levő 4fi nagyságú szög 72° vagy 120° lehet

mivel a KNM szög egyenlő (180°-4fi)-vel, így

108° vagy 60° lehetséges

mindkettő jó egyébként, csak az utóbbi esetben két szabályos háromszögből álló rombusz jön ki, de az is trapéz ugye

Jol irta az 1-es, az egy reszletesebb megoldas, de nyilvan meg nem 8.-os szint. Az en megoldasomba is az alapok ugyan azok:

Mivel KN=ML ezert ez egy egyenloszaru trapez. Igy a szemkozti szogek kiegeszitoszogek (Meg nyilvan az egymas melletti szogek is, de ezt most nem kell hasznalni)

Igy ha m(KNM)=beta, akkor m(KLM)=180-beta. Tovabba KLM haromszog egyenloszaru, ezert m(LMK)=180-beta.

Jeloljuk M(MKL)=alfa.

Tehat, ha felirjuk a KLM haromszogben, hogy a szogek osszege 180 fok, akkor azt kapjuk, hogy alfa+2*(180-beta)=180.

Ahogy az 1-es is irta, m(MKL)=m(NMK)=alfa, mivel valtoszogek. NKM haromszog egyenloszaru, azert m(NKM)=alfa.

Ebben a haromszogben is felirjuk az elozohoz hasonlo egyenletet, es azt kapjuk, hogy

2*alfa+beta=180. Tehat most mar van ket egyenletunk es ket ismeretlenunk:

2*alfa+beta=180

alfa+2(180-beta)=180

Megoldod az egyenletrendszert, es azt kapod, hogy alfa=36 mig beta=108, es a beta volt a keresett szog.

Erdekes modon, ebbol a megoldasbol nem kovetkezik, hogy beta lehet 60 is, ami nyilvanvaloan jo megoldas, es teljesiti a feladat osszes feltetelet. Es erre meg nem tudom a valaszt, hogy miert.

Rakjad, aztan meglatjuk.

Amugy a valto-, kiegeszito-, meg potszogek boven 8.-os anyag (legalabbis nekem az volt), de ha nem, akkor nez utanuk, mert alapfogalmak es egy olimpiara jo ha picit tobbet tudsz, mint a suliba elmondanak.