Egyetemi fizika házi (? )

[link]

Teljesen jól használható a wikipédia. Első feladathoz pl ott van a görbület képlete (2-szer le kell deriválni a függvényt), majd behelyettesítesz. A görbületi sugár pedig a görbület reciproka.

2-at nem tudom.

2)

[link]

A parabola paraméteres egyenlete:

x(t) = t

y(t) = a·t²

t szerinti deriváltak:

x' = 1

y' = 2a·t

A görbületi sugár levezetése általánosan:

Ha egy r görbületi sugarú görbe mentén ds távolságot megyünk, miközben dα szöget fordulunk el, akkor

ds = r·dα

1/r = dα/ds = dα/dt · dt/ds = α' / s'

A dx, dy befogójú, ds átfogójú háromszögben:

ds = √(dx² + dy²)

s' = ds/dt = √(x'² + y'²)

A háromszög α szögére:

tg α = dy/dx = dy/dt · dt/dx = y'/x'

α' előjön, ha ezt t szerint deriváljuk:

A bal oldal deriváltja:

d/dt tg α = d/dα (tg α) · dα/dt = (1+tg²α) · α' = (1+y'²/x'²) · α' = α' · (x'² + y'²) / x'²

A jobb oldalé:

d/dt (y'/x') = (y''·x' - y'·x'') / x'²

Vagyis:

α' · (x'² + y'²) / x'² = (y''·x' - y'·x'') / x'²

α' = (y''·x' - y'·x'') / (x'² + y'²)

Így:

1/r = α' / s' = (y''·x' - y'·x'') / √(x'² + y'²)³

A parabolánál:

x'' = 0

y'' = 2a

A parabola csúcsánál t=0, vagyis y'=0

Így:

1/r = 2a

Ki lehet gyorsabban is számolni, ha csak a parabola csúcspontjában érdekes a sugár:

Ha egy kört illesztünk a csúcsba, akkor a középpontja a (0, r) pontban lesz.

A kör egyenlete:

x² + (r-y)² = r²

x² + y² - 2ry = 0

x² + a²x⁴ - 2r·ax² = 0

1 + a²x² - 2r·a = 0

2r·a - 1 = a²x²

Ennek a határértéke x→0 esetén nulla, vagyis

r = 1/(2a)

A csavarvonal paraméteres egyenlete:

x = a·cos t

y = a·sin t

z = b·t

A henger sugara R = a, a menetemelkedés (hogy mennyivel kerül feljebb a csavarvonal egy fordulat után) m = 2π·b

A csavarvonal érintőjének az irányvektorát a derivált adja:

x' = -a·sin t

y' = a·cos t

z' = b

Ha már fizika háziról van szó: Ez egyébként a csavarvonal mentén haladó részecske sebességvektora. Még egyszer deriválva megkapjuk a gyorsulását:

x'' = -a·cos t

y'' = -a·sin t

z'' = 0

Ez az F=m·a alapján a pályán tartó erő irányába, vagyis a simulókör középpontja felé mutat.

A centripetális gyorsulásról tudjuk ezt is:

a = v²/r

Ebből kijön az r:

|r| = v²/|a| = (a²·sin²t + a²·cos²t + b²) / √(a²·cos²t + a²·sin²t)

r = (a²+b²)/a